álgebra linear

1ª Lista de Exercícios – Parte 3
Elementos de Economia Matemática I
Prof. Márcia Guedes Alcoforado
DECON – UFPE
1º SEMESTRE/ 2010

1. Sejam S e T operadores lineares de R2 definidos por S(x,y)= (x-2y, y) e T(x,y)= (2x, -y). Determinar:
a) S + T d) S  T

b) T – S e) T  S

c) 2S + 4T f) S  S

2. Seja a transformação linear:
S: R3  R4, S(x,y,z) = (x + y, z, x - y, y + z)
a) Calcular (S  T) (x,y) se T: R2  R3 (x, y)  (2x + y, x - y, x - 3y)

b) Determinar a matriz canônica de S  T e mostrar que ela é o produto da matriz canônica de S pela matriz canônica de T.

3.As transformações S: R2  R3 e T: R3  R2 são tais que S(x, y)= (y, x – y, 2x + 2y) e T(x, y, z)= (x, y).

a) Sendo B = {(1,0,-1), (1,1,1), (1,0,0)} uma base do R3, determinar a matriz [S  T]B.

b) Determinar [T  S]B’ e [T  S]B’’ , sendo B’ = {(1,1),(0,-1)} e B’’ a base canônica.

4. Seja o operador linear T: R3  R3 definido pela matriz: 1 0 1 2 -1 1 0 0 -1
a.) Mostrar que T é um isomorfismo.
b) Determinar a lei que define o operador T-1 (T elevado a menos 1).
c) Utilizar a matriz de T ou de T-1 (inversa) para obter o vetor v  R3 tal que T(v)= (2,-3,0).

5. Verificar se o operador linear T: R3  R3 definido por T(1,0,0) = (2,-1,0), T(0,-1,0) = (-1,-1,-1) e T(0,3,-1) = (0,1,1) é inversível e, em caso afirmativo, determinar T-1(x,y,z).{T elevado a menos 1}.

6. Em relação aos operadores dados, determinar primeiramente a matriz de T na base A e, a seguir, utilizar a relação entre matrizes semelhantes para calcular a matriz de T na base B.
a) T: R2  R2, T(x,y) = (x + 2y, -x + y) A = {(-1,1), (1,2)} e B = {(1,-3),(0,2)}

b) T: R2  R2, T(x,y) = (2x – 3y, x + y) A = {(1,0), (0,1)} e B = {(3,0), (-2,-1)}

c) T: R2  R2, T(x,y) = (7x – 4y, -4x + y) A é a base canônica e B = {(-2,1), (1,2)}

d) T: R3  R3 , T(x,y,z) = (x – 2y – 2z, y, 2y + 3z) A é canônica e B = {(0,1,-1), (1,0,0), (-1,0,1)}

7. Seja T: R2  R2 um