Álgebra Linear

ENGENHARIA CIVIL – 2P – NOV/2013
RESOLUÇÃO DE ALGUMAS QUESTÕES DE ALGEBRA LINEAR – NOV/2013

1)Pede-se explicar porque o conjunto S = {(x, y, z) / y = x+3 e z=0} não é um subespaço do espaço vetorial R3.
TEORIA-
Um conjunto não vazio S é subespaço vetorial de um espaço vetorial V se em S estão definidas as operações de adição de vetores e multiplicação por escalar, isto é, são válidas as duas condições:
i)se u, v S, então u+v S ii)se vS e kR, então kv S.
RESOLUÇÃO
Sejam dois vetores de S: u = (x1, x1+3, 0) e v = (x2, x2+3, 0):
i)u+v = (x1, x1+3, 0) + (x2, x2+3, 0) = (x1+x2, x1+x2+6, 0) A. Como a condição (i) não foi atendida, então S não é subespaço de R3.

2)Explicar porque o conjunto s = {(x, y) / x + 2y = 0} é um subespaço do espaço vetorial R2.
TEORIA- O mesmo que a questão anterior.
RESOLUÇÃO
Se x+2y = 0 então x = -2y. Assim sejam dois vetores de S: u = (-2y1, y1) e v = (-2y2, y2) e um número real k:
i)u+v = (-2y1, y1) + (-2y2,y2) = (-2y1-2y2, y1+y2) = (-2(y1+y2), y1+y2) S. ii)kv = k(-2y2, y2) = (-2ky2, ky2) S Como as duas condições exigidas foram atendidas, então S é subespaço vetorial de R2.
3)Determinar o subespaço do R3 gerado pelo conjunto A = {(-1, 3, 2), (2, -2, 1)}.
TEORIA-
Um conjunto A gera um subespaço S se todo vetor de S é uma combinação linear dos vetores de A.
RESOLUÇÃO
Seja (x, y, z) um vetor genérico de S.
Deve-se ter a combinação linear: (x, y, z) = a(-1, 3, 2) +b(2, -2,1); o que fornece o sistema de equações: cuja resolução segue:

Para que a combinação linear (x, y, z) = a(-1, 3, 2) +b(2, -2,1) exista, é necessário que o sistema linear acima tenha solução. Então deve-se ter
Assim o subespaço gerado é S = {(x, y, z)R3 | 4z = 7x+5y}

4)Mostrar que os vetores (1, 1, 1), (0, 1, 1) e (0, 0, 1) geram o R3.
TEORIA-
Idem anterior, isto é, “um conjunto A gera um subespaço S se todo vetor de S é uma combinação linear dos vetores de A”.
RESOLUÇÃO
Seja (x, y,