O uso da integral na engenharia

o 1. INTRODUÇÃO

O cálculo integral é muito usado em Engenharia Civil, principalmente o cálculo numérico de integrais, para calcular áreas, volumes, cargas, resultante de carregamentos (em estruturas planas e espaciais), centros de gravidade, centroides, momentos de inércia, deformações, solução de estruturas hiperestáticas (equações elásticas), etc. Outras aplicações mais avançadas como método dos elementos finitos, também utilizam intensamente integração numérica, tanto nas áreas de estruturas, hidráulica, hidrologia, geotecnia, etc. Isto sem falar nas áreas de transportes, logística, otimização, etc, que abrangem uma gama enorme de aplicações da Engenharia Civil.

2. DESENVOLVIMENTO

Os cálculos relacionados a áreas de figuras planas regulares são de certa forma realizados facilmente, devido às fórmulas matemáticas existentes. No caso de figuras como o triângulo, quadrado, retângulo, trapézios, losangos, paralelogramo entre outras, basta relacionarmos as fórmulas à figura e realizar os cálculos necessários. Algumas situações exigem ferramentas auxiliares na obtenção de áreas, como exemplo as regiões existentes sob uma curva. Para tais situações utilizamos os cálculos envolvendo as noções de integrações desenvolvidas por Isaac Newton e Leibniz.
Podemos representar algebricamente uma curva no plano através de uma lei de formação chamada função. A integral de uma função foi criada no intuito de determinar áreas sob uma curva no plano cartesiano. Os cálculos envolvendo integrais possuem diversas aplicações na Matemática e na Física. Observe a ilustração a seguir:

Para calcular a área da região demarcada (S) utilizamos a integrada função f na variável x, entre o intervalo a e b:

A ideia principal dessa expressão é dividir a área demarcada em infinitos retângulos, pois intuitivamente a integral de f(x) corresponde à soma dos retângulos de altura f(x) e base dx, onde o produto de f(x) por dx corresponde à área de cada retângulo. A soma das áreas