O MUNDO NÃO-EUCLIDIANO

3º COLÓQUIO DE MATEMÁTICA DA REGIÃO SUL
UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA CATARINA
28 DE ABRIL A 02 DE MAIO DE 2014

O MUNDO NÃO-EUCLIDIANO
INTRODUÇÃO:

Autor ¹: Sylvia Ferreira da Silva
Autor ²: José Leôncio Castelo Branco;
Professor Orientador: José Alan Farias dos Santos.

GEODÉSICAS:

Com o conhecimento da Geometria Euclidiana e os cinco postulados de Euclides encontrou-se uma forma “prática” de descrever os elementos da Natureza. Até que o 5º dos postulados da Geometria
Euclidiana, na tentativa de ser provado por grandes estudiosos e matemáticos, abriu novos horizontes na geometria. Este pode ser traduzido pelo axioma de Playfair: “Dado uma reta qualquer e um ponto fora desta reta, existe uma única paralela à reta dada passando por este ponto.” Tal postulado causou imensa inquietação entre os matemáticos, pois cada tentativa de prova foi frustrada, e no máximo encontrava-se equivalências, até que a partir da ideia de Saccheri de utliizar o método de redução ao absurdo, começaram a aparecer caminhos alternativos à
Geometria, um deles se tratava do espaço hiperbólico, outro do espaço elíptico, os quais originaram posteriormente as Geometrias Hiperbólica e Elíptica.

Geodésicas (“Retas”) são curvas de menor comprimento ligando dois pontos.
Geometria Euclidiana :
Retas.

Geometria Esférica: Arcos de grandes circunferências.

Geometria Hiperbólica:
I)

Disco: Segmentos pela origem, arcos perpendiculares à fronteira.

II) Semi-Plano: Retas verticais, semicircunferências centradas na origem;
III) Hiperbolóide: Curvas obtidas por intersecção com planos pela origem.

A GEOMETRIA HIPERBÓLICA :
Ao negar o quinto postulado de Euclides,Lobachewsky encontrou o que posteriormente se tornaria um axioma com seu nome : “Dado uma reta e um ponto fora desta existem pelo menos duas paralelas a esta reta passando por este ponto.” (Axioma de Lobachewsky)
Estes são alguns dos modelos que descrevem a geometria Hiperbólica :

AS GEOMETRIAS E