XYZ COMÉRCIO

4 – APROXIMAÇÃO DE FUNÇÕES
4.1- INTERPOLAÇÃO POLINOMIAL
Introdução: A interpolação
Interpolar uma função f(x) consiste em aproximar essa função por uma outra função g(x), escolhida entre uma classe de funções definida a priori e que satisfaça algumas propriedades. A função g(x) é então usada em substituição à função f(x).
A necessidade de se efetuar esta substituição surge em várias situações, como por exemplo: a.) quando são conhecidos somente os valores numéricos da função para um conjunto de pontos e é necessário calcular o valor da função em um ponto não tabelado; b.) quando a função em estudo tem uma expressão tal que operações como a diferenciação e a integração são difíceis (ou mesmo impossíveis) de serem realizadas. 4.1.1- Interpretação geométrica
Consideremos (n +1 ) pontos distintos: x0 , x1 , ... , xn , chamamos nós da interpolação, e os valores de f(x) nesses pontos: f(x0 ), f(x1 ), ..., f(xn).
A forma de interpolação de f(x) que veremos a seguir, consiste em se obter uma determinada função g(x) tal que:

g (x0 ) = f ( x0 )
 g (x ) = f (x )
1
 1
g( x2 ) = f (x 2 )

⋅
 ⋅
 ⋅
⋅

 ⋅
⋅

g(x n ) = f (x n )
Geometricamente, um esboço da interpolante g(x) sobre a função f(x) é visto na figura 3.1.
Em particular, se g(x) = Pn (x), onde Pn é um polinômio de grau n, então a interpolação é denominada de interpolação polinomial.
Observamos que:
i.)
existem outras formas de interpolação polinomial como, por exemplo, a fórmula de Taylor, a interpolação por polinômios de Hermite e do tipo
“spline”, para as quais as condições são outras; ii.) Assim como g(x) foi escolhida entre as funções polinomiais, poderíamos ter escolhido g(x) como função racional, função trigonométrica, etc. Um

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iii.)

caso que explora combinaçãoes de funções trigonométricas, em campo real ou complexo, é o aproximante definido a partir da série de Fourier; existe também o caso polinomial não interpolante, tal como, o aproximante