Variaveis complexas series

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IM442 - Vari´veis Complexas a 5a Lista de Exerc´ ıcios 1 Derivando e integrando a s´rie e 1 = 1−z 1 = (1 − z)2
∞ ∞

zn,
n=0

obtenha osseguintes desenvolvimentos, v´lidos em |z| < 1: a


(n + 1)z n
n=0

e

log(1 − z) = −
n=1

zn , n

onde log(1 − z) ´ o ramo do logaritmo quecorresponde a log(1) = 0. e 2 Obtenha os seguintes desenvolvimentos: 1 = 1+z 1 = (1 + z)2 todos v´lidos em |z| < 1. a 3 Usando o teste deWeierstrass, mostre que as s´ries abaixo convergem uniformemente nos e dom´ ınios indicados em cada caso. ∞ n cos(3n) n a) z , em qualquer disco |z| ≤ r < 1. 1+ 5n n=1
∞ ∞ ∞

(−1)n z n ;
n=0 n n

1 = (1 − z)2



z 2n ;
n=0 ∞

(−1) (n + 1)z ;
n=0

log(1 + z) =
n=1

(−1)n+1 n z ; n

b)n=1

n − 3 cos(n) 2n−1 z , em qualquer disco |z| ≤ r < 1. 10n2 + 7

ıcios abaixo, obtenha os desenvolvimentos em s´ries de potˆncias, conformeese e 4 Nos exerc´ pecifica¸˜o em cada caso. Determine os respectivos discos de convergˆncia e represente-os ca e graficamente.


a)
n=0 ∞

nz n .b)
n=0

sen h(n)z n .


e e e 5 Obtenha o desenvolvimento em s´ries de potˆncias de z a s´rie sen (z) =
n=0

(−1)n 2n+1 z , (2n + 1)!e verifique que este desenvolvimento ´ v´lido para todo z. e a 6 Diz-se que uma fun¸˜o ´ par (´mpar) se f (z) = f (−z) (f (z) = −f (−z)) para todoz. ca e ı Demonstre que o desenvolvimento de uma fun¸˜o par (´ ca ımpar) em potˆncias de z s´ cont´m e o e potˆncias pares (´ e ımpares). 1

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