Trigonometria

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Outubro de 2004

Trigonometria
11.º ano

I – Trigonometria.
I.1. Resolução de triângulos
→ Razões trigonométricas num triângulo rectângulo.

sen Â=

Comprimento do cateto oposto
Comprimento da hipotenusa

cos Â=

Comprimento do cateto adjacente
Comprimento da hipotenusa

tg Â=

Comprimento do cateto oposto
Comprimento do cateto adjacente



Â+ B =90º ⇒ são ânguloscomplementares.


sen Â= cos B


cos Â= sen B

Trigonometria – 1/9

É possível determinar as razões trigonométricas de um ângulo
conhecidas as razões trigonométricas do seu complementar.
→Algumas fórmulas úteis:
sen Â
= tg  .
cos Â

sen 2 Â + cos 2 Â = 1 Relação fundamental da trigonometria.

tg 2 Â+1=

1
.
cos 2 Â

→ Razões trigonométricas dos ângulos 30º, 45º e 60º
30º60º

1
2

Seno

45º
2
2
2
2

3
2
1
2

1

3

3
2
3
3

Coseno
Tangente

I.2. Ângulo e arco generalizados



A semi-recta O A pode efectuar uma rotação de centro O até


coincidir com a semi-recta O B .

Trigonometria – 2/9

1.º caso:



O A roda no sentido positivo (contrário ao

dos ponteiros do relógio).

2.º caso:



O A roda no sentidonegativo.

A amplitude de cada um dos ângulos é dada por:

•

 O A^ O B  = α + k .360º , para um valor inteiro de k



Como a amplitude de um arco de circunferência é igual à do ângulo ao
centro que lhe corresponde vem:


AB = α + k .360º , k ∈ Z

I.3. Outra unidade de medida: o radiano
Um radiano (rad) é a amplitude do ângulo ao centro correspondente a
um arco decircunferência de comprimento igual ao raio.

Trigonometria – 3/9

π rad ------------180º

2 π rad------------360º

I.4. Círculo trigonométrico. Razões trigonométricas de
um ângulo orientado.
→ Circulo trigonométrico:

→ Seno e coseno de um ângulo no círculo trigonométrico
• O seno de um ângulo è a ordenada do ponto de intersecção do lado
extremidade do ângulo com a circunferência quedelimita o círculo.
• O coseno de um ângulo é a abcissa do ponto de intersecção do lado
extremidade do ângulo com a circunferência que delimita o círculo.

Trigonometria – 4/9

→ Tangente de um ângulo no círculo trigonométrico
Tangente:
• A tangente de um ângulo do 1.º ou 4.º quadrantes é dada pela ordenada
do ponto de intersecção do eixo t com o lado extremidade do ângulo.
A tangente de umângulo do 2.º ou 3.º quadrantes é dada pela ordenada do
ponto de intersecção do eixo t com o prolongamento do lado extremidade
do ângulo.

I.5. Funções trigonométricas. Variação das funções
seno, coseno e tangente.
→ Funções trigonométricas
π

f ( x) = senx

2

π

0



Df=ℜ
CD f = [− 1,1].

Trigonometria – 5/9

2

π
f ( x) = cos x

2

π

0



2Df=ℜ
CD f = [− 1,1].

t

π
senx
f ( x) = tgx =
cos x

2

π

0



2

D f = {x ∈ ℜ : cos x ≠ 0}
CD f = ℜ .

→ Variação das funções seno, coseno e tangente.
Para o seno:
α

0

seno

0

1.º Q

π
2

1

2.º Q

π

0

Trigonometria – 6/9

3.º Q


2

-1

4.º Q



0

Para o coseno:
α

0

coseno

1.º Q

1

π

2.º Q

2

0

3.ºQ

π

-1


2

4.º Q



0

1

Para a tangente:
α

0

tangente

0

1.º Q

π

2.º Q

2

n.d.

3.º Q

π

0


2

4.º Q



n.d.

0

Note-se que a função tangente não é crescente em todo o seu
domínio pois, por exemplo, do 1.º para o 2.º quadrante ela decresce, sendo
no 1.º quadrante positiva e no 2.º negativa.

I.6. Relações entre asfunções de
e

α

e as de

− α ,π ± α ,

π
2

±α


±α .
2

→ Relações entre as funções de ângulos simétricos: α e − α
sen(−α ) = − senα
cos(−α ) = cos α
tg (−α ) = −tgα

→ Relações entre as funções de ângulos suplementares: α e π − α
sen(π − α ) = senα
cos(π − α ) = − cosα
tg (π − α ) = −tgα

→ Relações entre as funções de ângulos que diferem de um ângulo
raso: α e π...
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