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L´gica de Predicados o
Prof. Dr. Silvio do Lago Pereira
slago@ime.usp.br

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Introdu¸˜o ca

H´ v´rios tipos de argumentos que n˜o podem ser adequadamente formalizados a a a em l´gica proposicional. Como exemplo, considere o argumento a seguir: o S´crates ´ homem. o e Todo homem ´ mortal. e Logo, S´crates ´ mortal. o e Intuitivamente, podemos ver que esse argumento ´ v´lido. No entanto,usando e a l´gica proposicional, a formaliza¸ao desse argumento resulta em {p, q} |= r e n˜o o c˜ a h´ como mostrar que a conclus˜o r ´ uma conseq¨ˆncia l´gica das premissas p a a e ue o e q. Isso acontece porque a validade desse argumento depende do significado da palavra todo, que n˜o pode ser expresso na l´gica proposicional. De fato, para a o tratar argumentos desse tipo precisamos da l´gica depredicados [3]. o

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Sintaxe da l´gica de predicados o

Al´m dos conectivos l´gicos (¬, ∧, ∨ e →), as f´rmulas bem-formadas da l´gica e o o o de predicados s˜o compostas por objetos, predicados, vari´veis e quantificadores. a a 2.1 Objetos e predicados

Na l´gica de predicados, a no¸ao de objeto ´ usada num sentido bastante amplo. o c˜ e Objetos podem ser concretos (e.g., esse livro, alua), abstratos (e.g., o conjunto vazio, a paz), ou fict´ ıcios (e.g., unic´rnio, Saci Pererˆ). Objetos podem ainda ser o e atˆmicos ou compostos (e.g., um teclado ´ composto de teclas). Em suma, um o e objeto pode ser qualquer coisa a respeito da qual precisamos dizer algo [3]. Por conven¸ao, nomes de objetos s˜o escritos com inicial min´scula e assumimos que c˜ a u nomes diferentes denotam objetosdiferentes.
A B C

Figura 1. Blocos empilhados sobre uma mesa.

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S. L. Pereira

Um predicado denota uma rela¸ao entre objetos de um determinado conc˜ texto de discurso [3]. Por exemplo, no contexto ilustrado na Figura 1, podemos dizer que o bloco a est´ sobre o bloco b usando o predicado sobre e escrevendo a sobre(a, b); para dizer que o bloco b ´ azul, podemos usar o predicado cor eescre ever cor(b, azul) e, para dizer que o bloco b ´ maior que o bloco c, podemos usar e o predicado maior e escrever maior(b, c). Por conven¸ao, nomes de predicados c˜ a u s˜o escritos com inicial min´scula. 2.2 Vari´veis e quantificadores a

Grande parte da expressividade da l´gica de predicados ´ devida ao uso dos o e conectivos l´gicos, que nos permitem formar sente¸as complexas a partir deseno c ten¸as mais simples. Por exemplo, considerando o contexto da Figura 1, podemos c dizer que o bloco a est´ sobre o bloco b e que este est´ sobre a mesa escrevendo: a a sobre(a, b) ∧ sobre(b, mesa) Entretanto, o que realmente torna a l´gica de predicados mais expressiva que a o l´gica proposicional ´ a no¸ao de vari´veis e quantificadores: o e c˜ a – usando vari´veis, podemos estabelecer fatos arespeito de objetos de um dea terminado contexto de discurso, sem ter que nomear explicitamente esses objetos (por conven¸ao, nomes de vari´veis s˜o escritos com inicial mai´scula); c˜ a a u – usando o quantificador universal (∀), podemos estabelecer fatos a respeito de todos os objetos de um contexto, sem termos que enumerar explicitamente todos eles; e, usando o quantificador existencial (∃)podemos estabelecer a existˆncia de um objeto sem ter que identificar esse objeto explicitamente. e Por exemplo, considerando novamente o contexto da Figura 1, podemos dizer que todo bloco est´ sobre alguma coisa (bloco ou mesa) escrevendo: a ∀X[bloco(X) → ∃Y [sobre(X, Y )]]

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Semˆntica da l´gica de predicados a o

O significado das f´rmulas na l´gica de predicados depende da semˆntica dos o o aconectivos e da interpreta¸ao de objetos e predicados [3,2]. Uma interpreta¸ao c˜ c˜ na l´gica de predicados consiste de: o – um conjunto D = ∅, denominado dom´ ınio da interpreta¸ao; c˜ – um mapeamento que associa cada objeto a um elemento fixo em D; – um mapeamento que associa cada predicado a uma rela¸ao em D. c˜ c˜ O quantificador ∀ denota uma conjun¸ao e o quantificador ∃ denota uma disjun¸ao....
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