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ÁLGEBRA LINEAR
MATRIZES E OPERAÇÕES COM MATRIZES
MATRIZ TRIANGULAR SUPERIOR
É uma matriz quadrada onde [pic] para i > j.
Exemplos [pic], [pic], [pic]
MATRIZ TRIANGULAR INFERIOR
É uma matriz quadrada onde [pic] para i < j.
Exemplos [pic], [pic] e [pic]
MULTIPLICAÇÃO DEMATRIZES
Dadas duas matrizes [pic] e [pic], então:
[pic], onde [pic]
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS:
1. Se [pic] e [pic], então [pic], onde:
[pic], isto é:
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
1. Se [pic] e [pic], então [pic], onde:
[pic]
[pic]
[pic]
[pic][pic]
[pic]
[pic]
[pic]
Logo [pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
Propriedades da Multiplicação de Matrizes
(Desde que sejam possíveis as operações)
i) [pic] sendo I a matriz identidade
ii) [pic] e [pic]
iii) [pic]
iv) [pic] e [pic]
Observe que em geral [pic], podendo inclusiveum dos membros estar definido e o outro não.
Definições
Seja A uma matriz quadrada, então:
a) A é dita SIMÉTRICA, se e somente se, [pic].
b)
Exemplo [pic][pic][pic]
b) A é dita ANTI-SIMÉTRICA, se e somente se, [pic].
Exemplo [pic][pic][pic]
MATRIZESELEMENTARES
Definição
Chamamos de operações elementares nas linhas de uma matriz, às seguintes operações:
i) a troca da ordem de duas linhas da matriz;
ii) a multiplicação uma linha da matriz por uma constante diferente de zero;
iii) a substituição uma linha da matriz por sua soma com outra linha multiplicada por uma constante diferente de zero.
DefiniçãoUma matriz elementar é uma matriz obtida por meio de operações elementares nas linhas de uma matriz identidade.
Exemplos
1. Considere a matriz identidade [pic]. Então as matrizes
[pic], [pic], [pic], são matrizes
elementares obtidas de I, pela aplicação de uma única operação elementar em suas linhas. Se [pic] representa a i-ésima linha de I, então, estasmatrizes foram obtidas da seguinte maneira:
[pic][pic] [pic]
[pic][pic] [pic]
[pic][pic][pic]
TEOREMA
Seja E a matriz elementar obtida fazendo-se uma operação elementar nas linhas de [pic]. Se a mesma operação elementar for feita em uma linha de uma matriz A de ordem [pic], então o resultado será igual a [pic].
Exemplo
2. Considereas matrizes elementares [pic], [pic]e[pic], obtidas conforme segue:
[pic][pic] [pic]
[pic][pic] [pic]
[pic][pic] [pic]
Considere agora a matriz [pic]. Verifique que:
[pic][pic] [pic]=[pic][pic]
[pic][pic] [pic]=[pic][pic]
[pic][pic][pic]=[pic][pic]
Determinantes e Matriz InversaDeterminantes
Definições
Se [pic][pic][pic]
Se [pic][pic][pic]
Propriedades dos determinantes
i) [pic]
ii) Se multiplicarmos uma linha de uma matriz por [pic], o determinante fica multiplicado por k.
iii) Uma vez permutadas duas linhas de uma matriz, o determinante da mesma troca de sinal.
iv) O determinante de uma matriz que tem duaslinhas (ou colunas) iguais é igual a zero.
v) O determinante não se altera se somarmos aos elementos de uma linha, os elementos correspondentes de outra linha multiplicados por uma constante.
[pic]
vi) Se na matriz A cada elemento de uma linha é uma soma de duas parcelas, o determinante de A pode ser expresso sob a forma de uma soma dos determinantes de duas matrizes, a saber:...
MATRIZES E OPERAÇÕES COM MATRIZES
MATRIZ TRIANGULAR SUPERIOR
É uma matriz quadrada onde [pic] para i > j.
Exemplos [pic], [pic], [pic]
MATRIZ TRIANGULAR INFERIOR
É uma matriz quadrada onde [pic] para i < j.
Exemplos [pic], [pic] e [pic]
MULTIPLICAÇÃO DEMATRIZES
Dadas duas matrizes [pic] e [pic], então:
[pic], onde [pic]
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS:
1. Se [pic] e [pic], então [pic], onde:
[pic], isto é:
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
1. Se [pic] e [pic], então [pic], onde:
[pic]
[pic]
[pic]
[pic][pic]
[pic]
[pic]
[pic]
Logo [pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
Propriedades da Multiplicação de Matrizes
(Desde que sejam possíveis as operações)
i) [pic] sendo I a matriz identidade
ii) [pic] e [pic]
iii) [pic]
iv) [pic] e [pic]
Observe que em geral [pic], podendo inclusiveum dos membros estar definido e o outro não.
Definições
Seja A uma matriz quadrada, então:
a) A é dita SIMÉTRICA, se e somente se, [pic].
b)
Exemplo [pic][pic][pic]
b) A é dita ANTI-SIMÉTRICA, se e somente se, [pic].
Exemplo [pic][pic][pic]
MATRIZESELEMENTARES
Definição
Chamamos de operações elementares nas linhas de uma matriz, às seguintes operações:
i) a troca da ordem de duas linhas da matriz;
ii) a multiplicação uma linha da matriz por uma constante diferente de zero;
iii) a substituição uma linha da matriz por sua soma com outra linha multiplicada por uma constante diferente de zero.
DefiniçãoUma matriz elementar é uma matriz obtida por meio de operações elementares nas linhas de uma matriz identidade.
Exemplos
1. Considere a matriz identidade [pic]. Então as matrizes
[pic], [pic], [pic], são matrizes
elementares obtidas de I, pela aplicação de uma única operação elementar em suas linhas. Se [pic] representa a i-ésima linha de I, então, estasmatrizes foram obtidas da seguinte maneira:
[pic][pic] [pic]
[pic][pic] [pic]
[pic][pic][pic]
TEOREMA
Seja E a matriz elementar obtida fazendo-se uma operação elementar nas linhas de [pic]. Se a mesma operação elementar for feita em uma linha de uma matriz A de ordem [pic], então o resultado será igual a [pic].
Exemplo
2. Considereas matrizes elementares [pic], [pic]e[pic], obtidas conforme segue:
[pic][pic] [pic]
[pic][pic] [pic]
[pic][pic] [pic]
Considere agora a matriz [pic]. Verifique que:
[pic][pic] [pic]=[pic][pic]
[pic][pic] [pic]=[pic][pic]
[pic][pic][pic]=[pic][pic]
Determinantes e Matriz InversaDeterminantes
Definições
Se [pic][pic][pic]
Se [pic][pic][pic]
Propriedades dos determinantes
i) [pic]
ii) Se multiplicarmos uma linha de uma matriz por [pic], o determinante fica multiplicado por k.
iii) Uma vez permutadas duas linhas de uma matriz, o determinante da mesma troca de sinal.
iv) O determinante de uma matriz que tem duaslinhas (ou colunas) iguais é igual a zero.
v) O determinante não se altera se somarmos aos elementos de uma linha, os elementos correspondentes de outra linha multiplicados por uma constante.
[pic]
vi) Se na matriz A cada elemento de uma linha é uma soma de duas parcelas, o determinante de A pode ser expresso sob a forma de uma soma dos determinantes de duas matrizes, a saber:...
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