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ÁLGEBRA LINEAR


MATRIZES E OPERAÇÕES COM MATRIZES



MATRIZ TRIANGULAR SUPERIOR



É uma matriz quadrada onde [pic] para i > j.

Exemplos [pic], [pic], [pic]







MATRIZ TRIANGULAR INFERIOR


É uma matriz quadrada onde [pic] para i < j.

Exemplos [pic], [pic] e [pic]








MULTIPLICAÇÃO DEMATRIZES





Dadas duas matrizes [pic] e [pic], então:


[pic], onde [pic]









EXERCÍCIOS RESOLVIDOS:

1. Se [pic] e [pic], então [pic], onde:





[pic], isto é:


[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]



1. Se [pic] e [pic], então [pic], onde:


[pic]
[pic]
[pic]
[pic][pic]
[pic]
[pic]
[pic]


Logo [pic]




[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]




Propriedades da Multiplicação de Matrizes

(Desde que sejam possíveis as operações)



i) [pic] sendo I a matriz identidade

ii) [pic] e [pic]

iii) [pic]

iv) [pic] e [pic]




Observe que em geral [pic], podendo inclusiveum dos membros estar definido e o outro não.



Definições



Seja A uma matriz quadrada, então:

a) A é dita SIMÉTRICA, se e somente se, [pic].

b)

Exemplo [pic][pic][pic]






b) A é dita ANTI-SIMÉTRICA, se e somente se, [pic].

Exemplo [pic][pic][pic]










MATRIZESELEMENTARES




Definição



Chamamos de operações elementares nas linhas de uma matriz, às seguintes operações:

i) a troca da ordem de duas linhas da matriz;

ii) a multiplicação uma linha da matriz por uma constante diferente de zero;

iii) a substituição uma linha da matriz por sua soma com outra linha multiplicada por uma constante diferente de zero.



DefiniçãoUma matriz elementar é uma matriz obtida por meio de operações elementares nas linhas de uma matriz identidade.

Exemplos


1. Considere a matriz identidade [pic]. Então as matrizes




[pic], [pic], [pic], são matrizes


elementares obtidas de I, pela aplicação de uma única operação elementar em suas linhas. Se [pic] representa a i-ésima linha de I, então, estasmatrizes foram obtidas da seguinte maneira:

[pic][pic] [pic]
[pic][pic] [pic]




[pic][pic][pic]






TEOREMA
Seja E a matriz elementar obtida fazendo-se uma operação elementar nas linhas de [pic]. Se a mesma operação elementar for feita em uma linha de uma matriz A de ordem [pic], então o resultado será igual a [pic].



Exemplo




2. Considereas matrizes elementares [pic], [pic]e[pic], obtidas conforme segue:




[pic][pic] [pic]
[pic][pic] [pic]
[pic][pic] [pic]




Considere agora a matriz [pic]. Verifique que:
[pic][pic] [pic]=[pic][pic]




[pic][pic] [pic]=[pic][pic]




[pic][pic][pic]=[pic][pic]





Determinantes e Matriz InversaDeterminantes




Definições

Se [pic][pic][pic]




Se [pic][pic][pic]





Propriedades dos determinantes


i) [pic]

ii) Se multiplicarmos uma linha de uma matriz por [pic], o determinante fica multiplicado por k.

iii) Uma vez permutadas duas linhas de uma matriz, o determinante da mesma troca de sinal.

iv) O determinante de uma matriz que tem duaslinhas (ou colunas) iguais é igual a zero.

v) O determinante não se altera se somarmos aos elementos de uma linha, os elementos correspondentes de outra linha multiplicados por uma constante.

[pic]

vi) Se na matriz A cada elemento de uma linha é uma soma de duas parcelas, o determinante de A pode ser expresso sob a forma de uma soma dos determinantes de duas matrizes, a saber:...
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