Trabalho

Turma: ´ MA 327 Algebra Linear
Segundo Semestre de 2008

Nota:

Segunda Prova

Nome:

RA:

Quest˜es Pontos o
Quest˜o 1 a Quest˜o 2 a Quest˜o 3 a Quest˜o 4 a

Total

ATENCAO: ¸˜ Justifique todos os argumentos. Respostas sem justificativa n˜o ser˜o consideradas. a a Os sistemas lineares devem ser resolvidos por escalonamento de matrizes.

Quest˜o 1. a
Considere a transforma¸˜o linear T : I −→ I ca R R
4 3

(3.0 Pontos) definida por:

T (x, y, z, t) = (x − 2y + t , 2x + y − z , 5y − z − 2t) . (a) Determine uma base para o subespa¸o Ker(T ) e uma base para o subespa¸o Im(T ). c c (b) Determine uma base γ para o espa¸o vetorial I 4 contendo uma base de Ker(T ). c R (c) Determine a matriz [T ]γ , onde β ´ a base ordenada de I 3 dada por: e R β β = { (1, 0, 0) , (1, 1, 0) , (0, 1, 1) } .

Quest˜o 2. a
Considere T : I −→ P1 (I a transforma¸ao linear tal que R R) c˜ T (1, 1) = 1 − x e T (1, −1) = 1 + 3x .
2

(2.0 Pontos)

Mostre que T ´ um isomorfismo de I 2 em P1 (I e R R). Determine explicitamente a express˜o a −1 do isomorfismo inverso T (a0 + a1 x).

Quest˜o 3. a
Considere o espa¸o vetorial real I c R u, v
3

(2.5 Pontos) munido com o seguinte produto interno = 2x1 x2 + y1 y2 + 4z1 z2 ,

onde u = (x1 , y1 , z1 ) e v = (x2 , y2 , z2 ). Dados os elementos w1 = (1, 0, 1) e w2 = (1, 1, 1) ,

determine dois elementos v1 , v2 ∈ I 3 de modo que R w2 = v1 + v2 , com { v1 , w1 } um conjunto linearmente dependente e { v2 , w1 } um conjunto ortogonal com rela¸ao ao produto interno definido acima. c˜

Quest˜o 4. a
Considere o seguinte subespa¸o vetorial W do espa¸o vetorial real I c c R
4

(2.5 Pontos) dado por:

W = { (x, y, z, t) ∈ I 4 / z + t = 0 e x − y = 0 } . R Utilizando o Processo de Ortogonaliza¸ao de Gram-Schmidt, determine uma base ortogonal c˜ para o espa¸o vetorial real I 4 contendo uma base ortogonal do subespa¸o W , com rela¸ao c R c c˜ 4 ao produto interno canˆnico de I . o R

G A B A R I T O – Turmas C, D e E
Quest˜o