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Intervalo de Confian¸a - IC c Jos´ e Waldemar da Silva

Intervalo de Confian¸a - IC c
Jos´ Waldemar da Silva e
FAMAT - UFU

31 de janeiro de 2013

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IC: Introdu¸˜o ca
Intervalo de Confian¸a - IC c Jos´ e Waldemar da Silva

Objetivo

Incorporar ` estimativa pontual do parˆmetro, informa¸˜es a a a co respeito de sua variabilidade. Intervalos de confian¸a s˜o obtidos atrav´s da distribui¸˜o c a eca amostral dos estimadores.

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IC para a m´dia µ e
Intervalo de Confian¸a - IC c Jos´ e Waldemar da Silva

1o Caso: variˆncia populacional (σ 2 ) conhecida a

Vimos que a vari´vel a Z= ¯ X −µ √ , σ/ n (1)

tem distribui¸˜o normal com m´dia zero e variˆncia um. Logo, ca e a para γ, um valor fixo entre 0 e 1, podemos determinar P(−zt < Z < zt ) = γ em que a probabilidade γ ´ igualmentedividida em torno da e m´dia 0. e
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IC para a m´dia µ e
Intervalo de Confian¸a - IC c Jos´ e Waldemar da Silva

1o Caso: variˆncia populacional (σ 2 ) conhecida a

Deduz-se da express˜o 1, a f´rmula do IC para µ a o σ ¯ σ ¯ IC (µ, γ) = X − zt √ ; X + zt √ n n

(2)

Interpreta¸˜o: Tem-se 100 × γ% de confian¸a que o intervalo ca c de LI (valor do limite inferior) a LS (valor do limite superior)contenha a m´dia populacional µ. e

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IC para a m´dia µ e
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Dimensionamento de amostras para estimar µ quando a variˆncia populacional (σ 2 ) conhecida a

Observa¸˜o: A partir da express˜o 1 pode-se determinar uma ca a express˜o para dimensionamento de amostras para estimar µ. a ¯ Fazendo e = X − µ, margem de erro aceit´vel na estima¸˜o e a cacom uma dada confian¸a γ, c n= z 2 × σ2 e2

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IC para a m´dia µ e
Intervalo de Confian¸a - IC c Jos´ e Waldemar da Silva

Exemplo - variˆncia populacional (σ 2 ) conhecida a Exemplo: O tempo m´dio de vida de baterias de certa marca e est´ sendo estudado. Por meio de estudo anteriores ´ poss´ a e ıvel admitir que o desvio padr˜o populacional da vari´vel tempo ´ a a e 4,5 meses. Uma amostra de25 itens, forneceu m´dia de 24 e meses. Construa os intervalos de confian¸a para a m´dia, para c e cada confian¸a dada. c a) 95% de confian¸a, c b) 90% de confian¸a e c c) 99% de confian¸a. c Al´m da confian¸a, quais outros fatores pode interferir no e c comprimento (amplitude ou tamanho) do IC. Quantos itens deveriam ser amostrados se desej´ssemos um a erro na estimativa do tempo m´dio de vida de nom´ximo um e a mˆs. e
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IC para a m´dia µ e
Intervalo de Confian¸a - IC c Jos´ e Waldemar da Silva

2o Caso: variˆncia populacional (σ 2 ) desconhecida a Se a vari´vel X tem distribui¸˜o normal com variˆncia a ca a “populacional” desconhecida ent˜o, a m´dia amostral tem a e distribui¸˜o t de Student para qualquer valor de n. ca Substituindo na express˜o 1, Z por T e σ por S tem-se: a ¯ X −µ √ ,S/ n

T =

(3)

A distribui¸˜o t de Student ´ sim´trica em torno de 0 logo, ca e e P(−tt < T < tt ) = γ com tt obtido da tabela t com n − 1 graus de liberdade. S S ¯ ¯ IC (µ, γ) = X − tt √ ; X + tt √ n n (4)
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2o Caso: variˆncia populacional (σ 2 ) desconhecida a ˜ Observa¸˜o: Se a vari´vel X NAO tem distribui¸˜onormal, ca a ca no caso do IC anterior (variˆncia populacional desconhecida) a mas, se n > 30 usa-se a express˜o 2 substituindo σ por S, ou a seja, desvio padr˜o populacional pelo desvio padr˜o amostral. a a

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IC para a m´dia µ e
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2o Caso: variˆncia populacional (σ 2 ) desconhecida - Exemplo a Considere o caso das baterias em queanotou-se o tempo de vida, em meses, de 25 delas. Os dados foram conforme a seguir. 21 20 24 21 16 22 34 17 16 17 20 24 20 20 27 28 =⇒ 19 20 16 22 29 21 24

x = 21, 65 ¯

s 2 = 20, 60

s = 4, 54

Supondo que o tempo de vida tem distribui¸˜o normal, ca determine estimativas intervalares segundo a confian¸a dada. c a) 90% de confian¸a, c b) 95% de confian¸a e c c) 99% de confian¸a. c
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IC para uma...
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