TEOREMA DE ROLLE

TEREMA DE ROLLE
O Teorema de Rolle afirma que dada uma função contínua f que satisfaz as hipóteses: 1. f é contínua no intervalo fechado [a, b]. 2. f é diferenciável no intervalo aberto (a, b). 3. f (a) = f (b) Então existe um número c em (a; b) tal que f’ (c) = 0. Para uma ideia mais ilustrativa do que foi dito, vamos apresentar alguns gráficos de funções que satisfaçam as três hipóteses.

Demonstração: Inicialmente, vamos separar a demonstração em três casos: CASO 1: f (x) = k, uma constante Então f’ (x) = 0, assim, o número c pode ser tomado como qualquer número em (a; b). CASO 2: f (x) > f(a) para algum x em (a, b) Pelo Teorema do Valor Extremo1, f tem um valor máximo em algum ponto de [a, b]. Uma vez que f (a) = f (b) ela deve assumir esse valor máximo em um número c no intervalo aberto (a, b). Então f tem um máximo local em c e, pela hipótese 2, f é diferenciável em c. Portanto, f’(c) = 0 pelo Teorema de Fermat.
1 Teorema do Valor Extremo: Se f for contínua em um intervalo [a, b], então f assume um valor máximo absoluto f(c) e um valor mínimo absoluto f(d) em algum número c e d em [a, b]. Este Teorema pode ser aplicado no caso 2 devido à primeira hipótese do Teorema de Rolle.
CASO 3: f (x) < f(a) para algum x em (a, b) Pelo Teorema do Valor Extremo f tem um valor mínimo em algum ponto de [a, b]. Como f (a) = f (b) ela deve assumir esse valor mínimo em um número c no intervalo aberto (a, b). Assim, f’(c) = 0 pelo Teorema de Fermat.

Aplicações: Verifique se o Teorema de Rolle se aplica as funções 2 x xf e x xg. Solução: Consideremos 2 x xf. Observemos que para x = 0 ou x = 4, f(x) = 0.
Observemos também que f(x) é descontínua em x = 2, que é um ponto do intervalo 40≤≤x, logo, não se pode aplicar o Teorema de Rolle.

Consideremos agora 2 x xg, nesse caso a função é descontínua em x = - 2 que não pertence ao intervalo40≤≤x. Derivando g(x), temos: x xg x x x x x xg

Podemos concluir que 2 x