Derivadas

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Capítulo 7

APLICAÇÕES DA DERIVADA
7.1 Variação de Funções
Definição 7.1. Seja f uma função e x0 ∈ Dom(f ). 1. f possui um ponto de máximo relativo ou de máximo local no ponto x0 , se existe um pequeno intervalo aberto I que contem x0 tal que: f (x0 ) ≥ f (x), para todo x ∈ I ∩ Dom(f )

A imagem de x0 , f (x0 ), é chamada valor máximo local de f . 2. f possui um ponto de mínimo relativo oude mínimo local no ponto x0 , se existe um pequeno intervalo aberto I que contem x0 tal que: f (x) ≥ f (x0 ), para todo x ∈ I ∩ Dom(f )

A imagem de x0 , f (x0 ), é chamada valor mínimo local de f .

Max

Min

Figura 7.1: Pontos de mínimo e máximo. Em geral, um ponto de máximo ou de mínimo é chamado ponto extremo. 253

254 Exemplo 7.1.

CAPÍTULO 7. APLICAÇÕES DA DERIVADA

[1] Seja f(x) = x2 , x ∈ R; x0 = 0 é um ponto de mínimo relativo, pois x2 ≥ 0 para todo x ∈ R e f (0) = 0. Na verdade x0 = 0 é o único ponto extremo de f . [2] Seja f (x) = |x|, x ∈ R; x0 = 0 é um ponto de mínimo relativo, pois |x| ≥ 0 para todo x ∈ R e f (0) = 0. Como no exemplo anterior, x0 = 0 é o único ponto extremo de f .
3

2

1

3

2

1

1

2

3

Figura 7.2: Gráfico de f (x) = |x|.[3] Seja f (x) = x, x ∈ R. f não possui pontos de máximo ou mínimo relativos em R. Se f é restrita ao intervalo −1, 1 , então f possui o ponto x0 = 1 de máximo relativo. Se f é restrita ao intervalo [0, 2], então f possui o ponto x0 = 2 de máximo relativo e o ponto x0 = 0 de mínimo relativo. Se f é restrita ao intervalo (0, 1), então f não possui pontos de máximo relativo ou de mínimo relativo.Estes exemplos nos indicam a importância dos domínios das funções quando queremos determinar pontos extremos. Proposição 7.1. Se f é uma função derivável no intervalo (a, b) e x0 ∈ (a, b) é um extremo relativo de f , então f ′ (x0 ) = 0. A proposição nos indica que num ponto de máximo ou de mínimo relativo de uma função f , a reta tangente ao gráfico de f nesses pontos é paralela ao eixo dos x. Paraa prova veja o apêndice.

Figura 7.3: A proposição não garante a existência de pontos extremos.

7.1. VARIAÇÃO DE FUNÇÕES
Exemplo 7.2.

255

f (x) = x3 é uma função derivável em R e f ′ (x) = 3x2 ; logo f ′ (0) = 0, mas x0 = 0 não é ponto de máximo nem de mínimo relativo de f ; de fato, f (−1) < f (0) < f (1). A proposição nos dá uma condição necessária para que um ponto seja extremo.Definição 7.2. Seja f uma função derivável no ponto x0 ∈ Dom(f ). Se f ′ (x0 ) = 0, x0 é chamado ponto crítico de f . Pela proposição anterior, todo ponto extremo é ponto crítico. A recíproca é falsa. (Veja exemplo anterior). Exemplo 7.3. [1] Seja f (x) = x3 ; resolvemos f ′ (x) = 3 x2 = 0; então x = 0 é o único ponto crítico de f .

1

1

Figura 7.4: Ponto crítico de f (x) = x3 . [2] Seja f (x)= x3 − 3 x; resolvemos f ′ (x) = 3 x2 − 3 = 0; então, x = 1 e x = −1 são os pontos críticos de f .

-1

1

Figura 7.5: Pontos críticos de f (x) = x3 − 3 x. Na verdade um ponto "candidato"a máximo ou mínimo relativo de uma função derivável f sempre deve satisfazer à equação: f ′ (x) = 0 Mais adiante saberemos descartar dos pontos críticos, aqueles que não são extremais.

256 Definição 7.3.CAPÍTULO 7. APLICAÇÕES DA DERIVADA

1. O ponto onde uma função atinge o maior valor (se existe) é chamado máximo absoluto da função. O ponto x0 é de máximo absoluto de f quando para todo x ∈ Dom(f ), tem-se f (x0 ) ≥ f (x). 2. O ponto onde uma função atinge o menor valor (se existe) é chamado mínimo absoluto da função. O ponto x0 é de mínimo absoluto de f quando para todo x ∈ Dom(f ), tem-sef (x0 ) ≤ f (x). Um ponto de máximo absoluto é um ponto de máximo local. A recíproca é falsa; analogamente para mínimo absoluto.

max. abs max. local max. local min. local min. abs min. local

Figura 7.6: Pontos de máximos e mínimos Exemplo 7.4. [1] Seja f (x) = 2 x tal que x ∈ [0, 2]. O ponto x0 = 2 é um ponto de máximo absoluto de f .

De fato: f (x) ≤ f (2) = 4, para todo x ∈ [0, 2] e...
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