T2

Ms211Y – Cálculo Numérico – T2
Nomes: Daniel dos Santos Pedroso
Felipe Heiji Takaoka

RA: 145763
146024

1 OBJETIVO
Queremos estudar o comportamento da equação do movimento de um pêndulo. Dessa forma, mostraremos para quais valores a equação pode ser substituída por sua aproximação linear. Equação do movimento de um pêndulo:
𝜃 ′′ (𝑡) +

𝑔
𝑠𝑒𝑛(𝜃(𝑡)) = 0 ,
𝐿

𝑡>0

Equação linear aproximada:
𝜃 ′′ (𝑡) +

𝑔
𝜃(𝑡) = 0 ,
𝐿

𝑡>0

Sujeitos às seguintes condições:
𝜃(0) = 𝜃0

𝜃 ′ (0) = 0

2 SOLUÇÃO ANALÍTICA DA EQUAÇÃO LINEAR APROXIMADA
Equação característica:
𝑟2 +

𝑔
𝑔
= 0 ⇒ 𝑟 = ±√− ,
𝐿
𝐿

𝑔>0

𝑔
𝑟 = ±√ 𝑖
𝐿
𝑔
𝑔
𝜃(𝑡) = acos (√− 𝑡) + 𝑏𝑠𝑒𝑛 (√− 𝑡)
𝑔
𝐿
𝐿
⇒ 𝜃(𝑡) = 𝜃0 cos (√ 𝑡)
𝐿
𝜃(0) = 𝜃0
′ (0)
𝜃
=0
{

3 SOLUÇÕES NUMÉRICAS DA EQUAÇÃO NÃO-LINEAR
Realizando uma substituição de variável, temos:
𝜃 ′ (𝑡) = 𝑓(𝑡)
𝑔
{ ′
𝑓 (𝑡) = − 𝑠𝑒𝑛(𝜃(𝑡))
𝐿

𝑚

𝜋

Para 𝑔 = 9,8 𝑠2 , 𝐿 = 0,2𝑚 𝑒 𝜃0 = 8 , utilizaremos um método preditor-corretor-corretorcorretor para obter as soluções numéricas, seguindo a seguinte ordem:
ℎ𝑔
𝑠𝑒𝑛(𝜃𝑘 )
𝐿
ℎ
𝜃𝑘+1 = 𝜃𝑘 + (𝑓𝑘 + 𝑓𝑘+1 )
2
ℎ𝑔
= 𝑓𝑘 −
(𝑠𝑒𝑛(𝜃𝑘 ) + 𝑠𝑒𝑛(𝜃𝑘+1 ))
2𝐿
ℎ
𝜃𝑘+1 = 𝜃𝑘 + (𝑓𝑘 + 𝑓𝑘+1 )
2
𝑓𝑘+1 = 𝑓𝑘 −

𝑓𝑘+1
{

Dessa forma, definimos um passo ℎ =

{
𝑓𝑘+1

1
26

= 0,015625. Assim, obtemos:

𝑓𝑘+1 = 𝑓𝑘 − 0,765625𝑠𝑒𝑛(𝜃𝑘 )
𝜃𝑘+1 = 𝜃𝑘 + 0,0078125(𝑓𝑘 + 𝑓𝑘+1 )
= 𝑓𝑘 − 0,3828125(𝑠𝑒𝑛(𝜃𝑘 ) + 𝑠𝑒𝑛(𝜃𝑘+1 ))
𝜃𝑘+1 = 𝜃𝑘 + 0,0078125(𝑓𝑘 + 𝑓𝑘+1 )

Calculando para k = 0, 1, ..., 7, temos:

Código em C do método numérico

Valores numéricos obtidos

4 COMPARAÇÃO DAS SOLUÇÕES PARA 𝜃0 =

𝜋
8

Obtém-se os valores para 𝜃 linear pela equação:
𝑔
𝜃(𝑡) = 𝜃0 cos (√ 𝑡)
𝐿
Vamos agora comparar os resultados de 𝜃 obtidos da equação linear com a não-linear obtida acima:
Linear

Não-linear

𝜃1 = 0,392651145775
𝜃2 = 0,383340855971
𝜃3 = 0,371747902742
𝜃4 = 0,355712201672
𝜃5 = 0,335425394934
𝜃6 = 0,311299295380
𝜃7 = 0,283116159849
𝜃8 =