Séries Temporais

Consideramos o processo de diferenças dado por:
,
onde B é o operador backward shift e Zt ~ WN(0,σ²). Assim, temos que:

e o estimador para σ² é dado por:
.
O objetivo deste trabalho é calcular a variância do processo de diferenças para sucessivas ordens (1,2,3,...,r) até que, em determinada ordem, a variância venha a convergir para um determinado valor, ou seja, as estimativas permaneçam constantes. A estimativa final será uma estimativa da variância do ruído aleatório na série original e a ordem da diferença, um indicativo do grau do polinômio representando a componente sistemática.
A série original é apresentada na Figura 1.

Figura 1: Gráfico da série original.

Com a ajuda do software R, as estimativas para a variância do processo de diferenças foram calculadas e os valores são apresentados na Tabela 1.
Tabela 1: Valores estimados da variância para diferenças de ordens zero a cinco. r σ²
0
1457.54
1
105.14
2
91.11
3
88.09
4
87.15
5
86.83
Embora as estimativas tenham sido calculadas até para a diferença de ordem cinco, nota-se que a variância se estabiliza já para a diferença de ordem quatro, pois foram obtidos valores muito próximos para ordens três, quatro e cinco. Sendo assim, pode-se dizer que uma estimativa para σ² é 87.15 e a componente sistemática é representada por um polinômio de grau quatro.
Com os resultados obtidos acima, um polinômio de grau quatro será ajustado utilizando o método de quadrados mínimos. O polinômio a ser ajustado é Xt = β0 + β1T + β2T2 + β3T3 + β4T4 + Zt, onde Xt é a série original e Zt ~WN(0,σ²). Ao realizar o ajuste do modelo acima, os resultados da Tabela 2 foram obtidos.

Tabela 2: Ajuste do polinômio de grau quatro.
Coeficientes
Estimativa
Desvio Padrão
Teste T
P-valor
β0
17.97
5.88
3.05
0.0026 β1 -0.048
0.44
-0.11
0.913
β2
0.017
0.009
1.76
0.079 β3 -0.0002
0.00007
-2.59
0.010
β4
0.0000006
0.0000002
2.99
0.003

A partir da Tabela 2, pode-se observar que algumas