Série de taylor

Análise Matemática I Séries de Taylor e de Maclaurin
Joana Peres MIEQ – 2009/2010

FEUP / MIEQ

Joana Peres / Análise Matemática I

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Aproximação de funções por meio de polinómios Aproximação linear da função y = f (x) na visinhança do ponto x = a: numa visinhança de P, o gráfico da função y=f(x) é praticamente coincidente com o gráfico da recta tangente nesse ponto f ( x) ≈ p1 ( x) p1 ( x) = f (a) + f ′(a)( x − a)

Derivando vem:
′ p1 ( x) = 0 + f ′(a )

Donde se conclui que em x = a: p1 (a ) = f (a )
′ p1 (a) = f ′(a)

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Aproximação de funções por meio de polinómios Aproximação quadrática da função y = f (x) na vizinhança do ponto x = 0: f ( x) ≈ c0 + c1 x + c2 x 2 Temos que determinar os coeficientes do polinómio: p2 ( x) = c0 + c1 x + c2 x 2

tal que
′ ′′ f (0) = p2 (0), f ′(0) = p2 (0), f ′′(0) = p2 (0)

Como C p2 ( x) = c0 + c1 x + c2 x 2 ⇒ p2 (0) = c0
′ ′ p2 ( x) = c1 + 2c2 x ⇒ p2 (0) = c1

c0 = f (0) c1 = f ′(0) f ′′(0) c2 = 2

′′ ′′ p2 ( x) = 2c2 ⇒ p2 (0) = 2c2

Então f ( x) ≈ f (0) + f ′(0) x +
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f ′′(0) 2 x 2
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Aproximação de funções por meio de polinómios Exemplo Determinar a aproximação linear e quadrática da função ex na vizinhança do ponto x = 0.

e ≈ 1+ x x ex ≈ 1+ x

x2 e ≈ 1+ x + 2 x ex

ex

Como esperado a aproximação quadrática é mais precisa do que a aproximação linear na vizinhança do ponto x = 0.

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Polinómios de Taylor Problema: Dada uma função f qualquer derivável n vezes no ponto x = a, encontrar o polinómio pn (x) de grau n com a seguinte propriedade: o valor do polinómio e o valor de todas as suas derivadas até à ordem n ser igual ao valor da função e correspondentes derivadas até à ordem n em a . Queremos o polinómio: pn ( x) = c0 + c1 ( x − a ) + c2 ( x − a ) 2 + c3 ( x − a) 3 + + cn ( x − a ) n

tal que: f (