Apendice Matematico Convergencia De Series E Serie De Taylor

Apêndice Matemático 1: Convergência de Séries e Série de Taylor.

1. Convergência de Séries

Séries Infinitas:
Primeiro vamos definir a notação. Notação Sigma: .
Exemplos:
a.
b.
c. Propriedades das somatórias:
1.
2.
3.
4.
5.

Somatórias especiais: razão.
1. Progressão aritmétrica (PA):
2. Progressão geométrica (PA):
Somas telescópicas: são somas em que os termos intermediários se cancelam restando apenas os termos inicial e final da série.

Exemplos:
a.
b.

Usando as somas telescópicas para determinar outras somatórias:

1. Exemplo da PA1: pela soma telescópica. Por outro lado então logo .
Com isso mostramos que: . Ou seja: . Soma-se o primeiro com o último termo e multiplica-se esse resultado por .

2. Exemplo da PG2:

Por outro lado de onde extraímos que logo .

3. Exemplo 2: usar a soma telescópica para calcular .
Começamos de . Por outro lado .
Então , logo nque nos leva ao resultado: .

4. Usando a soma telescópica podemos provar que .
5. Outras somas telescópicas:

Por outro lado logo sabemos que .

Convergência ou divergência de séries infinitas.

Seja . Se existe e é finito então a série infinita converge. Se é infinito então a série infinita diverge. Isso significa que se a série converge a função tem uma assíntota horizontal como mostrado na figura 1.

Figura 1. Gráfico de versus mostrando a assíntota horizontal para a qual a série converge.

Por enquanto vamos nos restringir à séries em que são positivos. Se a série converge então a inclinação da curva para muito grande tende a zero, logo: . Por outro lado , logo , portanto se a série converge , ou seja, o vai se tornando cada vez menor e tendendo a zero quando cresce. Se e possui uma assíntotal horizontal sabemos que diminui à medida que n cresce, logo, para grande . A segunda derivada , significando que a função é crescente e convexa com e .

Exemplos de séries que convergem e divergem:
Vamos tomar o caso da PG: . Nesse caso . Mas sabemos que se