series de taylor

Cap¶³tulo 3
S¶eries de Fourier
3.1. Introdu»c~ao
Neste cap¶³tulo analisamos a s¶erie de Fourier que ¶e um caso especial de s¶erie de pot^encias. A s¶erie de
Fourier tem muitas aplica»c~oes na engenharia el¶etrica mas neste trabalho essas s¶eries s~ao usadas apenas para resolver equa»c~oes diferenciais parciais.
Uma s¶erie formada por senos e cosenos ¶e chamada de s¶erie trigonom^etrica. Assim, uma s¶erie trigonom^etrica assume a seguinte forma:

com am = bm =

1

m2 para m 6= 0 e ao = 0 assume a seguinte forma:
Cos(
¼
L
x) + Sen(
¼
L
x) + 1
4
Cos(
2¼
L
x) + 1
4
Sen(
2¼
L
x) + 1
9
Cos(
3¼
L
x) + 1
9
Sen(
3¼
L
x) + : : :
Pode ser demonstrado que a s¶erie anterior converge para todos os valores de x.
2. A s¶erie trigonom^etrica com am = 0 e bm =
1
m assume a seguinte forma:
Sen(
¼
L
x) + 1
2
Sen(
2¼
L
x) + 1
3
Sen(
3¼
L
x) + : : :
Pode ser demonstrado que a s¶erie anterior converge para todos os valores de x exceto para x =
L
2
.
3. A s¶erie trigonom^etrica com am = 1 e bm = 0 assume a seguinte forma:
1
2
+ Cos(
¼
L
x) + Cos(
2¼
L
x) + Cos(
3¼
L
x) + : : :
Pode ser demonstrado que a s¶erie anterior diverge para todos os valores de x exceto para x =
L
2
.
As s¶eries de Fourier s~ao usadas em aplica»c~oes tais como no m¶etodo de separa»c~ao de vari¶aveis de equa»c~oes diferenciais, na resolu»c~ao de equa»c~oes diferenciais parciais, na an¶alise de circuitos el¶etricos em que os bipolos ativos s~ao fontes de tens~ao e/ou corrente de tipo peri¶odico n~ao senoidal, entre outras aplica»c~oes. Assim, por exemplo, uma fonte peri¶odica n~ao senoidal pode ser substitu¶³da por uma s¶erie de Fourier (que est¶a formado apenas por fun»c~oes senoidais) e depois aplicar a teoria de corrente alternada para fontes de corrente alternada senoidal e o teorema da superposi»c~ao para analisar essse tipo de circuito el¶etrico.
3.2. As s¶eries de Fourier
As s¶eries de Fourier podem representar uma grande