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1ª Propriedade
Se todos os elementos de uma linha ou de uma coluna de uma matriz quadrada forem nulos, o seu determinante é zero.

Se [pic], então [pic]

2ª Propriedade
Se duas linhas (ou duas colunas) de uma matriz quadrada forem iguais ou proporcionais, seu determinante é nulo.

Se [pic], então [pic]

Se [pic], então [pic]

3ª Propriedade
Se uma linha (ou uma coluna) de uma matriz quadrada for combinação linear de outras linhas (ou colunas), seu determinante é nulo.

É dada a matriz [pic]em que a 3ª linha é a soma da 1ª linha com a 2ª linha, ou seja, a 3ª linha é combinação linear da 1ª linha com a 2ª linha.
[pic]

4ª Propriedade
O determinante de uma matriz quadrada A é igual ao determinante de sua transposta At, ou seja [pic]

Considere as matrizes [pic] e sua transposta [pic]. Os seus determinantes são:
[pic] = – 5 + 0 + 6 – 0 – 4 – 20 = – 23
[pic]= – 5 + 6 + 0 – 0 – 4 – 20 = – 23

5ª Propriedade
Se trocarmos de posição entre si duas linhas (ou duas colunas) de uma matriz quadrada, o determinante da nova matriz é o oposto do determinante da primeira matriz.

Seja a matriz quadrada [pic], cujo determinante é [pic]. Trocando de posições as linhas de A, obtemos a matriz [pic], cujo determinante é [pic].

6ª Propriedade
Se multiplicarmos todos os elementos de uma linha ( ou de uma coluna) por um número real k, então o determinante da nova matriz é o produto de k pelo determinante da primeira matriz.

Dado o determinante [pic]. Multiplicando todos os elementos da 1ª linha por 4 temos [pic]

7ª Propriedade
Se todos os elementos de uma matriz quadrada situados de um mesmo lado da diagonal principal forem nulos, o determinante da matriz será igual ao produto dos elementos dessa diagonal.

Dada a matriz quadrada [pic], na qual todos os elementos acima da diagonal principal são nulos. Então

[pic]

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[pic]

CEFET/MG – Campus Itabirito – Propriedade de Determinantes

Matemática – 2º ano