Sitemas lineares

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FATEC
Faculdade de Tecnologia de São José dos Campos

Capítulo 4

Sistemas de equações lineares
Prof. Jorge Kennety

Sistemas de equações lineares
4.1-Introdução
O estudo de matrizes transpostas é muito importante nas ciências exatas e nas
engenharias, particularmente em problemas de pesquisa operacional cuja
solução depende na resolução de lineares do tipo Ax = b onde A é uma matrizcom solução em x, e b um vetor de constantes. Neste caso a solução do sistema
pode ser implementada, também, através das transpostas das matrizes.
Consideremos o sistema linear abaixo:
Uma companhia de mineração possui duas diferentes minas que produzem um
minério que, depois de ser triturado, é classificado em três classes: qualidade
superior (A), média(B) e baixa (C). A companhia tem umcontrato para
abastecer uma fundição com 12 toneladas de minério de classe A, 8 toneladas
de minério de classe B e 24 toneladas de classe C, por semana. As duas minas
possuem diferentes características de operação.

Prof. Jorge Kennety

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Sistemas de equações lineares
Mina

Custo por dia (R$)

Produção (ton/dia)
A

B

C

X

180

6

3

4

Y

160

1

1

6Questão: Quantos dias por semana cada mina deve operar para satisfazer o
contrato da planta de fundição?
1º) Suponha a utilização da mina X por um dia e da mina Y por um dia.
Produzido:Minério A: Minério B: Minério C: Objetivo:Minério A: Minério
B: Minério C:
Produzido:
Minério A: 1 ⋅ 6 + 1 ⋅ 1 = 7ton
Minério B: 1 ⋅ 3 + 1 ⋅ 1 = 4ton
Minério C: 1 ⋅ 4 + 1 ⋅ 6 = 10ton

Objetivo:
Minério A:12 ton
Minério B: 8 ton
Minério C: 24 ton

Prof. Jorge Kennety
Mas como encontrar a solução????????????

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Sistemas de equações lineares
4.2 - Equações Lineares
Segundo SANTOS (2000, p97) “equação linear é toda equação escrita na forma:
a1 x1 + a2 x2 + a13x3 + ... + axn, = b em que a1, a2, a3,...,an são números reais que
recebem o nome de coeficientes das incógnitas x1, x2,x3,...,xn, e b é um número
real chamado de termo independente”.
As equações abaixo são exemplos de equações lineares.
3x + 4y = 5
x - 5y = 3
x + y -2z = 12
As duas primeiras são equações com duas incógnitas (x e y); já a terceira é uma
equação com três incógnitas (x, y z). Juntas, essas equações poem formar um
sistema de equações lineares.
Agora observe as seguintes equações:
x2 + 10x + 2y - z =120
sen(x) + 3.cos(y) + 2z = 12
Prof. Jorge Kennety

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Sistemas de equações lineares
Neste último exemplo, as três equações não formam um sistema linear, pois além
do expoente das incónitas ser maior que 1 também existem funções
trigionométricas envolvidas.

Prof. Jorge Kennety

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Sistemas de equações lineares
4.3 – Sistemas de equações lineares

4.3.1-Solução de um sistemade equações

Chama-se solução de um sistema linear qualquer solução comum a todas as
equações do sistema.
A solução do sistema abaixo
É (25/3,-1/3,5)
Prof. Jorge Kennety

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Sistemas de equações lineares
4.4 Classificação
Um sistema linear é classiicado de acordo com o número de soluções:
Sistema possível e determinado (S.P.D): Sistemas lineares que admite uma

única solução.Geometricamente:

Exemplo
solução

x + y = 5
⇒ y=2 e x=3

y = 2
Sistema possível e indeterminado (S.P.I): Sistemas lineares que admite mais

de uma solução.
Exemplo

Geometricamente:
Soluções:

2 x + y = 5
⇒ (2,1), (0,5)..., etc

4 x + 2 y = 10

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Sistemas de equações lineares
Sistema impossível(SI): Sistemas lineares que não admite solução.
Geometricamente:Exemplo

x + y = 5

x + y = 8
Obs: não existe dois números cuja soma seja igual a 5 e também igual a 8

Determinado(S.P.D)

RESUMO

S.P

Impossível(S.P.I)

Sistema Linear
Sistema impossível(S.I)
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Sistemas de equações lineares
4.5-Representação de um sistema de equações na forma matricial

Prof. Jorge Kennety

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