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3.5 Métodos Iterativos para a Solução de Sistemas Lineares

Seja os Sistema Linear onde:

matriz de coeficientes vetor de variáveis vetor independente (constantes)

Idéia Geral dos Métodos Iterativos

Converter o sistema de equações em um processo iterativo , onde:

matriz com dimensões vetor com dimensões função de iteração matricial

Esquema Iterativo Proposto

Partindo de uma vetor aproximação inicial , constrói-se uma seqüência iterativa de vetores:

Forma Geral

Os métodos de solução de sitemas lineares iterativos podem ser considerados como uma generalização do Método de Iteração Linear para a solução de raízes.

Observação
Se a sequência de aproximação , , , ......, é tal que , então é a solução do sistema .

Teste de Parada
Como em todos os processos iterativos, necessitamos de um critérios para a parada do processo.

a) Máximo desvio absoluto:

b) Máximo desvio relativo:

Desta forma, dada uma precisão o vetor será escolhido como solução aproximada da solução exata, se , ou dependendo da escolha, .

3.5.1 Método Iterativo de Gauss-Jacobi

Considere o sistema linear:

Supondo , isola-se o vetor mediante a separação pela diagonal da matriz de coeficientes.

Assim, tem-se o sistema iterativo , onde:

Dado uma aproximação inicial , o Método de Gauss-Jacobi consiste em obter uma seqüência , , , ......, , por meio da relação recursiva: Observe que o processo iterativo utiliza somente estimativas da iteração anterior.

Exemplo: Resolver o sistema de equações lineares, pelo Método de Gauss-Jacobi com solução inicial e tolerância .

Separando-se os elementos diagonais, tem-se:

Solução para k=0

Cálculo de :

Para k=1: Para k=2: é solução com erro menor que 0,05.

Condições