Sistemas

Sistemas de equações lineares e matrizes

 2 x + 3 y = 10  x − y = 5 − x + 5 y = 5 

 2 x + 3 y = 10  x − y = 5 − x + 5 y = −5 

  2 x + 3 y = 10   − 4 x − 6 y = − 20  3 x + 2 y = 5 

 2 x + 3 y = 10   − 4 x − 6 y = − 10

Um sistema de equações pode:
• Não ter solução • Ter uma única solução • Ter mais do que uma solução

Chama-se conjunto solução ou solução geral de um sistema ao conjunto de todas as soluções de um sistema

Classificação dos sistemas: • Sistema impossível
(o conjunto solução é vazio)

• Sistema possível e determinado
(o conjunto solução tem um único elemento)

• Sistema possível e indeterminado
(o conjunto solução é infinito)

Sistemas equivalentes: Dois sistemas de lineares dizem-se equações

equivalentes quando têm o mesmo conjunto solução

Regras para obter sistemas equivalentes:
• Regra 1: Trocar a ordem de duas equações • Regra 2: Multiplicar ambos os membros de uma equação por uma constante não nula • Regra 3: Adicionar a uma equação outra multiplicada por uma constante

 2 x + 3 y + 5 z = 10   x − y + 10 z = 20 − x + y − z = 5 

 2 x + 3 y + 5 z = 10   x − y + 10 z = 20 − x + y − z = 5 

3 5  2  A =  1 − 1 10  − 1 1 − 1  
Matriz dos coeficientes

 x  X =  y  z  
Incógnitas

10 B = 20      5
Termo independente

 2 x + y + 2 z = 10   x − y + 4 z = 20 − x + y − z = 5 

 2 x1 + x 2 + 2 x 3 = 10   x1 − x 2 + 4 x 3 = 20 − x + x − x = 5 2 3  1

1 2  2  A =  1 − 1 4  − 1 1 − 1  

 x1   X =  x2    x3   

10 B = 20      5

AX=B

1 2  2 A =  1 − 1 4   − 1 1 − 1  

 x1  X =  x2     x3   

10 B = 20    5  

AX=B
Matriz aumentada (ou ampliada)
1 2  2  1 −1 4  − 1 1 − 1  10 20  5 

Regras para obter sistemas equivalentes e operações elementares sobre as linhas de uma matriz Usar as regras para obter sistemas equivalentes corresponde a