Sistemas

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Sistemas de equações lineares e matrizes

 2 x + 3 y = 10  x − y = 5 − x + 5 y = 5 

 2 x + 3 y = 10  x − y = 5 − x + 5 y = −5 

  2 x + 3 y = 10   − 4 x − 6 y = − 20  3 x + 2 y = 5 

 2 x + 3 y = 10   − 4 x − 6 y = − 10

Um sistema de equações pode:
• Não ter solução • Ter uma única solução • Ter mais do que uma solução

Chama-se conjunto solução ou soluçãogeral de um sistema ao conjunto de todas as soluções de um sistema

Classificação dos sistemas: • Sistema impossível
(o conjunto solução é vazio)

• Sistema possível e determinado
(o conjunto solução tem um único elemento)

• Sistema possível e indeterminado
(o conjunto solução é infinito)

Sistemas equivalentes: Dois sistemas de lineares dizem-se equações

equivalentes
quando têmo mesmo conjunto solução

Regras para obter sistemas equivalentes:
• Regra 1: Trocar a ordem de duas equações • Regra 2: Multiplicar ambos os membros de uma equação por uma constante não nula • Regra 3: Adicionar a uma equação outra multiplicada por uma constante

 2 x + 3 y + 5 z = 10   x − y + 10 z = 20 − x + y − z = 5 

 2 x + 3 y + 5 z = 10   x − y + 10 z = 20 − x + y − z =5 

3 5  2  A =  1 − 1 10  − 1 1 − 1  
Matriz dos coeficientes

 x  X =  y  z  
Incógnitas

10 B = 20      5
Termo independente

 2 x + y + 2 z = 10   x − y + 4 z = 20 − x + y − z = 5 

 2 x1 + x 2 + 2 x 3 = 10   x1 − x 2 + 4 x 3 = 20 − x + x − x = 5 2 3  1

1 2  2  A =  1 − 1 4  − 1 1 − 1  

 x1   X =  x2    x3   10 B = 20      5

AX=B

1 2  2 A =  1 − 1 4   − 1 1 − 1  

 x1  X =  x2     x3   

10 B = 20    5  

AX=B
Matriz aumentada (ou ampliada)
1 2  2  1 −1 4  − 1 1 − 1  10 20  5 

Regras para obter sistemas equivalentes e operações elementares sobre as linhas de uma matriz Usar as regras para obter sistemas equivalentes corresponde aefectuar operações elementares sobre as linhas da matriz aumentada.

1 2  2  1 −1 4  − 1 1 − 1  4  1 −1  0 3 −6  − 1 1 − 1  4 1 −1 0 1 −2  0 0 1 

10 20  5  20 − 30  5  20 − 10  25 / 3 

 1 −1 4  2 1 2  − 1 1 − 1  4 1 −1 0 3 −6  0 0 3 

20 10  5  20 − 30  25 

1 −1 4 0 1 0  0 0 1 

20 20 / 3  25 / 3 

1 −1 4 0 1 0  0 0 1 20 20 / 3  25 / 3 

1 −1 0 0 1 0  0 0 1 

− 40 / 3 20 / 3  25 / 3 

1 0 0 0 1 0  0 0 1 

− 20 / 3 20 / 3  25 / 3 

 x1 = −20 / 3   x2 = 20 / 3  x = 25 / 3  3

 a11x1 + a12x2 +L+ a1n xn = b1  a x + a x +L+ a x = b  21 1 22 2 2n n 2  M  am1x1 + am2 x2 +L+ amnxn = bm 

 a11 a12 L a1n   x1   b1  a   x  b  a22 L a2n   2   2   21= M M M M  M   M       am1 am2 L amn  xn  bm 

 a11 a12 L a1n  a21 a22 L a2n  M M M M  am1 am2 L amn  

b1   b2  M  bm 

 x1 + 2 x2 = 3   2 x1 − x2 = 0 3 x + x = −1  1 2

 1 2 3    2 − 1 0 3 1 − 1  

 x1 + 2 x2 = 3   2 x1 − x2 = 0 3 x + x = −1  1 2

 1 2 3    2 − 1 0 3 1 − 1  

1 2 3   0 − 5 − 6  0 − 5 − 10    x1 + 2 x2 = 3   2 x1 − x2 = 0 3 x + x = −1  1 2

 1 2 3    2 − 1 0 3 1 − 1  

1 2 3   0 − 5 − 6  0 − 5 − 10  

1 2 3   0 − 5 − 6  0 0 − 4  

 x1 + 2 x2 = 3   2 x1 − x2 = 0 3 x + x = −1  1 2

 1 2 3    2 − 1 0 3 1 − 1  

1 2 3   0 − 5 − 6  0 − 5 − 10  

1 2 3   0 − 5 − 6  0 0 − 4  

 x1 + 2 x2 = 3   2 x1− x2 = 0 3 x + x = −1  1 2
1 2 3   0 − 5 − 6  0 − 5 − 10  

 1 2 3   2 − 1 0  3 1 − 1  

1 2 3   0 − 5 − 6  0 0 − 4  

 x1 + 2 x2 = 3  0 x1 − 5 x2 = −6 0 x + 0 x = −4 2  1

 x1 + 2 x2 = 3   2 x1 − x2 = 0 3 x + x = −1  1 2
1 2 3   0 − 5 − 6  0 − 5 − 10  

 1 2 3   2 − 1 0  3 1 − 1  

1 2 3   0 − 5 − 6  0 0 − 4...
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