Sistemas

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SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES

1. Equações lineares

Equação linear com as incógnitas x1,x2, x3,..., xn, é toda equação na forma:

(I)

onde os números reais a1 , a2 , a3 , ... , an são os coeficientes, respectivamente, de x1, x2, x3, ...., xn, o número real b é o termo independente e a1 ou a2 ou a3 ou ... an [pic]0.

([pic]é solução de (I) se [pic]= b é verdadeira.

Exemplos:São equações lineares:
x1 + 3x2 + 4x3 = 5 ; 2x1 - x2 - x3 +3x4 + 6x5 = 7

Não são equações lineares:
x21 + 2x2 + x3 = 6 ; x1 – x1 x2 +3x2 = 0

Na equação 3x1 + 2x2 + 4x3 = 9 :

(5,1,-2) ; (1,1,1) e (3,0,0) são algumas soluções

pois: 3 . 5 + 2 . 1 + 4 . (-2) = 9 ,

3 . 1 + 2 . 1 + 4 . 1 = 9 e

3 . 3 + 2 . 0 + 4 . 0 = 9

2. Sistema linear 2 x2

João e Ana resolveram aproveitar os saldos de uma livraria para comprar livros e CDs. João gastou R$ 100,00 comprando 1 livro e 4 CDs. Ana, por sua vez, comprou 2 livros e 3 CDs, gastando ao todo R$ 90,00 . Quanto custou cada livro e cada CD que João e Ana compraram?

Para resolver este problema, podemos montar um sistema de duas equações com duas variáveis.

Sendo x o preço de cadalivro e y o preço de cada CD, temos:
[pic]

As equações que formam esse sistema são do 1º grau, por isso o sistema é linear.
Como há duas equações e duas incógnitas, dizemos que esse é um sistema linear dois por dois (2 x 2).

De modo geral:

Sistema linear 2 x 2 com as incógnitas x e y é um conjunto de duas equações lineares simultâneas em x e y :
[pic]
(onde a,b e c são números reais, e a e b não são simultaneamente nulos)
(d, e e f são números reais, e d e e não são simultaneamente nulos)

Resolução do sistema de equações linear 2 x 2

Se quisermos encontrar a solução do problema
de Ana e João, devemos resolver o sistema:
[pic]
Resolver esse sistema significa encontrar pares de números reais que sejam soluçõesdas duas equações.
Existem várias formas de resolver um sistema linear 2 x 2. Vamos resolver o sistema proposto de duas formas: uma algébrica, usando o método da adição ou substituição e a outra gráfica.

Método da substituição

[pic]

Substituindo x = 100 – 4y na 2ª equação:
2(100 - 4y) + 3y = 90 [pic] 200 – 8y + 3 y = 90 [pic]
-5y = 90 - 200 [pic] -5y = -110[pic] y = -110/-5 =22

Para calcular x , basta substituir o valor do y encontrado em x = 100 – 4y , temos:
x = 100 – 4 . 22 = 100 – 88 = 12 [pic] x = 12

S = {(12 ; 22)}

Ou seja, cada livro custou 12 reais e cada CD custou 22 reais.

Representação gráfica:
Neste caso, resolver o sistema significa encontrar os pontos comuns às duas retas que representam a equações do sistema.
x + 4y = 100 e 2x + 3y= 90 são funções do 1º grau : y = -x/4 + 100/4 [pic] y = -x/4 + 25
3y = –2x +90[pic] y = -2/3 x + 90/3[pic]y= -2/3x+30
y
50
40 S(12,22)
30
20
10 x

0 10 45 100
Observando os gráficos, concluímos que há apenas um par denúmeros que verifica simultaneamente as duas equações, portanto o problema tem apenas uma solução. Nesse caso, dizemos que esse sistema linear é possível e determinado.

Outros exemplos:

a) A soma de dois números é 100 e a sua média aritmética é 45. Quais são esses números?

O sistema que traduz o problema é:

Utilizando o método da adição:
[pic][pic][pic][pic][pic]+0x +0y = -10
Nesse caso, não existem valores de x e y que satisfaçam a igualdade. Assim, dizemos que esse sistema é impossível ou incompatível e o seu conjunto solução é vazio ( S = [pic] )

Representando graficamente a solução, temos:
y

100
90

70




y = 100 -x
20
10...
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