Sistemas lineares

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SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES

Uma equação linear é toda igualdade escrita na forma a1X1+a2X2+a3X3+...+anXn=b em que:
* a1, a2, a3,..., na são denominados de coeficientes.
* X1, X2, X3,..., Xn são denominados de incógnitas.
* b é denominado de termo independente.
a1, a2, a3, ..., na, b ϵ ǀR

Um sistema de equações lineares ou sistema linear é formado por um conjunto equaçõeslineares. Esse sistema pode ser classificado como:
* Sistema possível e determinado: possui uma única solução;
* Sistema possível e indeterminado: possui infinitas soluções;
* Sistema impossível: não tem solução;

Vejamos agora, alguns exemplos de sistemas, suas soluções e interpretações geométricas:

Resolução e Interpretação Geométrica de Sistemas de EquaçõesLineares com duas incógnitas.

* SISTEMA POSSÍVEL E DETERMINADO

Em um concurso, os candidatos realizaram uma prova com 25 questões. A organização do concurso estabeleceu que eles não poderiam deixar questões em branco e que a nota da prova seria composta da seguinte maneira:
* cada questão correta valeria 3 pontos;
* de cada questão incorretaseria diminuído um ponto da nota.
Se um candidato obteve nota 47, qual foi o número de questões que ele acertou?

SOLUÇÃO
Tomando x como o número de questões corretas e y o número de questões incorretas, temos:
x+y=253x-y=47

O candidato acertou 18 questões e errou 7;
Nesse tipo de sistema apenas uma solução satisfaz aigualdade.

INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA

Podemos perceber que as duas retas são concorrentes e se interceptam no ponto S(18;7) que é a solução do sistema.
* SISTEMA POSSÍVEL INDETERMINADO

A soma de dois números é 100 e sua média aritmética é 50. Quais são esses números?RESOLUÇÃO
x+y=100x+y2=50

Num sistema possível e indeterminado existem infinitos números que satisfazem a igualdade, portanto não há um valor numérico definitivo como o caso anterior, por isso temos x= 100-%r1, onde %r1 representa y. Então podemos encontrar as várias soluções através de x=100-y.

INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA

No gráfico de um sistemapossível e indeterminado as retas são coincidentes, pois as duas equações do sistema têm mesmo coeficiente angular e linear.
Se tomarmos y=50, teremos x=50 e esse ponto estará presente nas duas retas:


* SISTEMA IMPOSSÍVEL

A soma de dois é 100 e sua média aritmética é 45. Quais são esses números?

RESOLUÇÃO
x+y=100x+y2=45

Numsistema impossível, não existem valores de x e y que satisfazem a igualdade, portanto o conjunto solução é vazio (S=∅).

INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA

No gráfico deste tipo de sistema as retas das equações são paralelas, portanto não se encontram.
Se tivermos y=70, por exemplo, teremos x=30 para a primeira equação e x=20 para a segunda:

Cada pontoestará numa reta diferente.

Resolução e Interpretação Geométrica de Sistemas de Equações
Lineares com três incógnitas

* SISTEMA POSSÍVEL E DETERMINADO

(UFCG-PB) Uma empresa produz latas de uma farinha composta por amendoim, castanha de caju e castanha-do-pará. O quilo do amendoim custa R$ 5,00, o quilo da castanha de cajucusta R$ 20,00 e o quilo da castanha-do-pará custa R$ 16,00. A empresa deseja que cada lata contenha meio quilo da mistura, que o custo total dos ingredientes seja R$ 5,75 e que a quantidade de castanha de caju seja 1/3 da soma da quantidade de amendoim e de castanha-do-pará. De acordo com esses dados, o peso, em gramas, de amendoim, castanha de caju e castanha-do-pará, por lata, deve ser,...
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