Sistemas lineares

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Sistemas Lineares
1. Equação Linear
Toda equação da forma a1 x1 + a 2 x 2 + ... + a n x n = b é denominada equação linear, em
que:
a1 , a 2 ,.., a n são coeficientes
x1 , x 2 ,..., x n são as incógnitas
é um termo independente

b
Exemplos:

a) 2 x1 − 3 x 2 + x3 = 5 é uma equação linear de três incógnitas.
b) x + y − z + t = −1 é uma equação linear de quatro incógnitas.
Observações:1º) Quando o termo independente b for igual a zero, a equação linear denomina-se equação
linear homogênea. Por exemplo: 5 x + y = 0 .
2º) Uma equação linear não apresenta termos da forma x12 , x1 .x 2 etc., isto é, cada termo da
equação tem uma única incógnita, cujo expoente é sempre 1.
As equações 3 x12 + 2 x 2 = −3 e 4 x. y + z = 2 não são lineares.

3º) A solução de uma equação linear a nincógnitas é a seqüência de números reais ou
ênupla (α 1 , α 2 ,..., α n ) , que, colocados respectivamente no lugar de x1 , x 2 ,..., x n , tornam
verdadeira a igualdade dada.
4º) Uma solução evidente da equação linear homogênea 3 x + y = 0 é a dupla (0,0) .
Vejamos alguns exemplos:
1º exemplo: Dada a equação linear 4 x − y + z = 2 , encontrar uma de suas soluções.
Resolução: Vamosatribuir valores arbitrários a x e y e obter o valor de z.

x=2

2 .4 − 0 + z = 2


y=0

z = −6

Resposta: Uma das soluções é a tripla ordenada (2, 0, -6).
2º exemplo: Dada a equação 3 x − 2 y = 5 , determinar α para que a dupla (-1, α) seja solução da
equação.
Resolução: (− 1, α )



x = −1
y =α

3.(− 1) − 2α = 5



− 3 − 2α = 5
− 2α = 8 ⇔ α = −4

Resposta: α = – 4

1 Exercícios Propostos:
1. Determine m para que (− 1,1,−2) seja solução da equação mx + y − 2 z = 6 .

Resp: -1
2. Dada a equação

xy
+ = −1 , ache α para que (α , α + 1) torne a sentença verdadeira.
23

Resp: -8/5

2. Sistema linear.
Denomina-se sistema linear de m equações nas n incógnitas x1 , x 2 ,..., x n todo sistema da
forma:

a11 x1 + a12 x 2 + ... + a1n x n = b1
a x + ax + ... + a x = b
22 2
2n n
2
 21 1

→ a11 , a12 ,..., a1n , b'1 , b'2 ,..., b'n são números reais.
...
...

a m1 x1 + a m 2 x 2 + ... + a mn x n = bn

Se o conjunto ordenado de números reais (α '1 , α '2 ,..., α 'n ) satisfizer a todas as equações do
sistema, será denominado solução do sistema linear.
Observações:
1ª) Se o termo independente de todas as equações do sistemafor nulo, isto é,
b1 = b' 2 = ... = b' n = 0 , o sistema linear será dito homogêneo. Veja o exemplo:

2 x + y − z = 0

x + y + 4z = 0
5 x − 2 y + 3z = 0

Uma solução evidente do sistema linear homogêneo é x = y = z = 0.
Esta solução chama-se solução trivial do sistema homogêneo. Se o sistema homogêneo
admitir outra solução em que as incógnitas não são todas nulas, a solução seráchamada
solução não-trivial.
2ª) Se dois sistemas lineares, S1 e S2, admitem a mesma solução, eles são ditos sistemas
equivalentes. Veja o exemplo:

2

 x + 3 y = −5
S1 : 
⇒ S = {(1,−2 )}
2 x − y = 4
y

3 x + 2 = 2

⇒ S = {(1,−2 )}
S2 : 
−x+ y

= −1
3

Como os sistemas admitem a mesma solução {(1, -2)}, S1 e S2 são equivalentes.

Exercícios Popostos:

2 x1 + 3x 2− x3 = 0

1. Seja o sistema S1 :  x1 − 2 x 2 + x3 = 5 .
 − x + x + x = −2
2
3
1
a) Verifique se (2, -1, 1) é solução de S.
b) Verifique se (0,0,0) é solução de S.

Resp: a) é b) não é

3x + y = k 2 − 9
2. Seja o sistema: 
. Calcule k para que o sistema seja homogêneo.
x − 2 y = k + 3

Resp: k = -3

x − y = 1
3. Calcular m e n de modo que sejam equivalentes os sistemas:
e
2 x + y = 5
mx − ny = −1

nx + my = 2

Resp: m = 0 e n = 1

3

3. Expressão matricial de um sistema de equações lineares.
Dentre suas variadas aplicações, as matrizes são utilizadas na resolução de um sistema
de equações lineares.
Seja o sistema linear:

a11 x1 + a12 x2 + ... + a1n xn = b1
a x + a x + ... + a x = b
22 2
2n n
2
 21 1

...
...

a m1 x1 +...
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