Sistemas lineares

Sistemas Lineares
1. Equação Linear
Toda equação da forma a1 x1 + a 2 x 2 + ... + a n x n = b é denominada equação linear, em que: a1 , a 2 ,.., a n são coeficientes x1 , x 2 ,..., x n são as incógnitas é um termo independente

b
Exemplos:

a) 2 x1 − 3 x 2 + x3 = 5 é uma equação linear de três incógnitas.
b) x + y − z + t = −1 é uma equação linear de quatro incógnitas.
Observações:
1º) Quando o termo independente b for igual a zero, a equação linear denomina-se equação linear homogênea. Por exemplo: 5 x + y = 0 .
2º) Uma equação linear não apresenta termos da forma x12 , x1 .x 2 etc., isto é, cada termo da equação tem uma única incógnita, cujo expoente é sempre 1.
As equações 3 x12 + 2 x 2 = −3 e 4 x. y + z = 2 não são lineares.

3º) A solução de uma equação linear a n incógnitas é a seqüência de números reais ou ênupla (α 1 , α 2 ,..., α n ) , que, colocados respectivamente no lugar de x1 , x 2 ,..., x n , tornam verdadeira a igualdade dada.
4º) Uma solução evidente da equação linear homogênea 3 x + y = 0 é a dupla (0,0) .
Vejamos alguns exemplos:
1º exemplo: Dada a equação linear 4 x − y + z = 2 , encontrar uma de suas soluções.
Resolução: Vamos atribuir valores arbitrários a x e y e obter o valor de z.

x=2

2 .4 − 0 + z = 2

⇒ y=0 z = −6

Resposta: Uma das soluções é a tripla ordenada (2, 0, -6).
2º exemplo: Dada a equação 3 x − 2 y = 5 , determinar α para que a dupla (-1, α) seja solução da equação. Resolução: (− 1, α )

⇒

x = −1 y =α

3.(− 1) − 2α = 5

⇒

− 3 − 2α = 5
− 2α = 8 ⇔ α = −4

Resposta: α = – 4

1

Exercícios Propostos:
1. Determine m para que (− 1,1,−2) seja solução da equação mx + y − 2 z = 6 .

Resp: -1
2. Dada a equação

xy
+ = −1 , ache α para que (α , α + 1) torne a sentença verdadeira.
23

Resp: -8/5

2. Sistema linear.
Denomina-se sistema linear de m equações nas n incógnitas x1 , x 2 ,..., x n todo sistema da forma: a11 x1 + a12 x 2 + ... + a1n x n = b1
a x + a