SISTEMA LINEAR

Métodos de decomposição LU
A decomposição LU é das técnicas mais usadas para resolver sistemas de equações algébricas. Vamos abordar dois tipos de decomposição LU: por eliminação de
Gauss e pelo método de Crout.

1. Eliminação de Gauss e decomposição LU

A eliminação de Gauss pode ser usada para decompor uma matriz dos coeficientes [A], em duas matrizes [L] e [U], onde [U] é uma matriz triangular superior
(todos os elementos abaixo da diagonal principal são nulos), e [L] é uma matriz triangular inferior. Seja [A] uma matriz quadrada, por exemplo 3x3,
 a11
A =  a 21

 a 31


a12 a 22 a 32

a13  a 23 

a 33 


Através de passos de eliminação, podemos reduzir a matriz original dos coeficientes, [A], numa matriz [U]
 a11
A =  a 21

 a 31


a12 a 22 a 32

a13  a 23 

a 33 


 a11
⇔ U=  0

0


a12 a' 22
0

a13  a´23 

a' 33 


O 1º passo na eliminação de Gauss é multiplicar a 1ª linha da matriz [A] pelo factor f21=

a 21 e subtrair este resultado à 2ª linha de [A], eliminando a 21 . Igualmente, a11 multiplica-se a 1ª linha pelo factor f 31=

a 31
, e subtrai-se este resultado à 3ª linha de a11 modo a eliminar a31 . O passo final (note-se que é uma matriz 3x3) consiste em multiplicar a 2ª linha pelo factor f 32=

a ' 32
, e subtrair à 3ª linha eliminando a' 32 . a' 22

A matriz [L]é uma matriz triangular inferior, cujos os elementos da diagonal principal são 1’s e os restantes elementos são os factores f21, f31, f32

1
L =  f 21

 f 31


0
1
f 32

0
0

1


Multiplicando as matrizes [L] e [U], obtemos a matriz original [A].
A eliminação de Gauss representa uma decomposição LU de [A]. O exemplo seguinte mostra uma aplicação deste método. Considerando um sistema de três equações:  2x + y + 4z = 2

 6 x + y = −10
− x + 2 y − 10 z = −4

Este sistema pode ser representado matricialmente por Ax = b, ou seja
4 
2 1
6 1