Sistema de coordenadas cartesianas

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  • Publicado : 31 de dezembro de 2012
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Guia do professor - Sistemas de Coordenadas
Introdução
O uso de sistemas de coordenadas se apresenta em algumas situações do dia-a-dia.

Quando precisamos encontrar uma rua em um mapa de uma cidade, como os mapas disponíveis em algumas listas telefônicas, normalmente a cidade é particionada em linhas e colunas identificadas por letras e números.

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Figura 1 - Mapa com região daCidade de Porto Alegre

Nos livros de Geografia, em Atlas geográficos, nos livros de História as coordenadas estão lá para facilitar a localização de pontos do planeta graficamente representados nos mapas.

Pilotos de avião, helicópteros assim como capitães de navios e agora também motoristas de automóveis civis, graças ao advento dos aparelhos de navegação via GPS (Global PosicioningSystem) fazem uso de sistemas de coordenadas. Por exemplo, para a correta leitura e interpretação de um mapa na qual estão representadas rotas aéreas (ver figura a seguir), é fundamental saber trabalhar com sistemas de coordenadas.



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Figura 2 - Mapa aéreo de região próxima a Porto Alegre

Em outras áreas como as Engenharias, a Química, a Física e a Matemática os sistemas decoordenadas também estão presentes – eles servem para descrever pontos em gráficos de funções. Essas funções, por sua vez, podem estar representando os mais diversos fenômenos.

Existem muitos tipos de sistemas de coordenadas. Esses sistemas podem ser basicamente de dois tipos – sistemas de coordenadas ordenadas e sistemas de coordenadas não-ordenadas. No mapa da figura 1, temo um exemplo desistema de coordenadas em que a ordem dos pares não é relevante. Ou seja, podemos localizar uma região no mapa indo pelas coordenadas (2, B) ou (B, 2).

No primeiro caso existem subtipos de sistemas de coordenadas. Nos nossos objetos de aprendizagem tentamos explorar dois tipos de sistemas. O sistema cartesiano ou retangular e o sistema polar.

No sistema cartesiano de coordenadas,para o caso de duas variáveis, isto é, um sistema de duas dimensões, temos dois eixos ordenados, ortogonais e com origens coincidentes. Para localizarmos um ponto ou o descrevermos, utilizamos pares ordenados. Normalmente chamamos o eixo horizontal de eixo das abscissas. O outro, vertical, eixo das ordenadas. Ao descrevermos simbolicamente um ponto, atribuímos uma letra latina maiúscula eentre parênteses posicionamos da esquerda para direita a abscissa e a ordenada do ponto separadas por vírgula ou ponto e vírgula.

Em um gráfico, para localizarmos um ponto como A(2;3), basta traçarmos uma perpendicular ao eixo das abscissas passando pelo ponto 2 deste eixo e uma perpendicular ao eixo das ordenadas passando por 3 deste eixo. A interseção das duas perpendiculares é o ponto A.[pic]

Em muitos casos, é mais simples usarmos o outro tipo de sistema de coordenadas abordado no nosso segundo objeto de aprendizagem: o sistema de coordenadas polares. Nesse sistema, precisamos de duas informações para descrever um ponto – um ângulo em graus ou radianos e a distância entre o ponto e a origem, que chamamos de raio.

“Um sistema de coordenadas polares no planoconsiste de um ponto fixo O, chamado de pólo (ou origem) e de um raio que parte do pólo, chamado eixo polar. Em tal sistema de coordenadas, podemos associar a cada ponto P no plano um par de coordenadas polares (r, α), onde r é a distância de P ao pólo e α é o ângulo entre o eixo polar e o raio OP. O número r é chamado de coordenada radial (ou distância polar) de P enquanto que α é a coordenadaangular (ou ângulo polar) de P.” (adaptado de Anton, 2000 e Batschelet, 1978).

Observe o desenho a seguir:
|[pic] |O ponto P tem coordenadas cartesianas P(x, y) e coordenadas |
| |polares P(r, α). |
|...
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