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Capítulo 19
Coordenadas polares
Neste capítulo, veremos que há outra maneira de expressar a posição de um ponto no plano, distinta da forma cartesiana. Embora os sistemas cartesianos sejam muito utilizados, há curvas no plano cuja equação toma um aspecto muito simples em relação a um referencial não cartesiano.

Denição 1
Um sistema de coordenadas polares O ρ θ no plano consiste de um ponto O, denominado polo ou origem, e de uma semirreta OA, com origem em O, denominada eixo polar.
Dado um ponto P do plano, suas coordenadas, neste sistema, são os valores ρ e θ, onde ρ é a distância de P a O e θ é a medida do ângulo do eixo polar para a semirreta OP . Escrevemos:
P = (ρ, θ)
Figura 1: Coordenadas polares.

Convencionamos que a medida do ângulo tomada de OA para OP no sentido anti-horário é positiva e negativa no sentido horário.

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Observação 1
(I) A primeira coordenada polar ρ de um ponto distinto do polo é sempre maior que zero, pois ela representa a distância do ponto ao polo.
Mas podemos tomar também valores negativos para ρ, convencionando-se, neste caso, marcar a distância |ρ| na semirreta oposta, ou seja, o ponto P = (ρ, θ), com ρ < 0, corresponde ao ponto P = (−ρ, θ + π).

Figura 2: (ρ, θ) = (−ρ, θ + π)

(II) Se a primeira coordenada polar de um ponto for zero, então este ponto é o polo. O ângulo do polo não está denido.

(III) Podemos usar a medida em radianos ou em graus para os ângulos. Por exemplo, P = (2, 30o ) = (2, π/6).

(IV) O par (ρ, θ) determina, de maneira única, um ponto do plano. No

entanto, um ponto no plano pode ser determinado por meio de várias coordenadas polares distintas, pois, de acordo com a construção acima, as medidas θ e θ + 2πk , onde k ∈ Z, estão associadas ao mesmo ângulo e, portanto, (ρ, θ) e (ρ, θ + 2πk) representam o mesmo ponto do plano. Além disso, pela observação (I), como (ρ, θ) = (−ρ, θ + π) se ρ < 0, então
(−ρ, θ + π) = (ρ, θ + 2π) = (ρ, θ) se ρ > 0. Ou seja, (ρ,