Coordenadas cilíndricas e esféricas

Coordenadas
Cilíndricas

Esféricas

Engenharia Ambiental Cálculo III Prof. Ronaldo

Sistema de Coordenadas
• Em DUAS dimensões: Sistema Cartesiano e Sistema Polar

• Em TRÊS dimensões:
Sistema Cilíndrico e Sistema esférico

Coordenadas Polares

Ângulo

O: Pólo (ou origem)

OA: Eixo polar ou reta polar

Coordenadas Cilíndricas

• No sistema de coordenadas cilíndricas, um ponto P no espaço tridimensional é representado pela tripla ordenada:

(r, θ, z) * Onde r e θ são as coordenadas polares de projeção de P sobre o plano xy e z é a

distância direta do plano xy ao ponto P.

Exemplo:

coordenadas cilíndricas

Conversão de coordenadas cilíndricas para cartesianas
• Utilize as seguintes equações:

x= r. cosθ

y= r. senθ

z=z

Conversão de coordenadas cartesianas para cilíndricas
• Utilize as seguintes equações:

x² + y² = r² r   x²  y ²

z=z

r.sen y  r. cos  x y tg  x

Exemplo:
• A) Plote o ponto abaixo em coordenadas

cilíndricas

e

determine

suas

coordenadas

cartesianas ou retangulares.

2 (2,  ,1) 3
• B) Determine as coordenadas cilíndricas do ponto com coordenadas retangulares (3 , – 3, – 7)

• Coordenadas cilíndricas são uteis em problemas que envolvem simetria em torno de um eixo, e o

eixo Z é escolhido para coincidir com o eixo de simetria.

Exemplo: O eixo do cilindro circular com equação em coordenadas cartesianas x² + y² = c² é o eixo z.

Em coordenadas cilíndricas ele tem uma equação muito simples dada por r = c.

Esta é a razão para o nome coordenadas “cilíndricas”

Simetria em torno do eixo Z

Exemplo:
• C) Descreva a superfície cuja equação em coordenadas cilíndricas é z = r

• D) Determine a equação em coordenadas cilíndricas para o elipsóide: 4x² + 4y² + z² = 1

Coordenadas Esféricas

• No sistema de coordenadas esféricas, um ponto P no espaço tridimensional é representado pela tripla ordenada:

(p, θ,

)

* Onde p =|OP| é a