SERIES DE FOURRIER

Os fenômenos periódicos aparecem nas mais variadas situações: ondas de som, movimento da Terra, batimento cardíaco, entre outros. Freqüentemente uma função periódica pode ser representada por meio de funções periódicas simples, nomeadamente A figura ao lado mostra a mesma curva da figura acima juntamente com duas funções seno e duas funções cosseno. A curva original é a soma dessas 4 funções, como você pode verificar com alguma paciência. Note que as amplitudes e períodos das ondas componentes são diferentes entre si.

Matematicamente, a decomposição da função f(x) na curva acima é a seguinte:

Em resumo, qualquer função f(x) pode, segundo Fourier, ser escrita na forma da soma de uma série de funções seno e cosseno da seguinte forma geral: Ou na forma de somatória,

No conjunto de pontos onde ela converge, ela define uma função f, cujos valores em cada ponto x é a soma da série para aquele valor de x. Dizemos então que esta série é a série de Fourier de f.

Coeficientes
Sendo a serie:
Vamos determinar agora os coeficientes an, bn. Suponhamos que a série representa uma dada função , periódica, de período T. Temos então que:

(1)

Seja x0 uma constante. Integrando ambos os termos (1) entre x0 e x0+T e admitindo que comuta com , obtem-se:

Ou ainda:

Logo, Sejam m um inteiro positivo. Multiplicando ambos lados dos membros (1) por , integrando em seguida entre x0 e x0+T e supondo mais uma vez que que comuta com , vem:

É possível obter:

Exemplo
Determinar a série de Fourier da função definida no intervalo [-1, 1], por:

Esta função pode ser encarada como uma restrição de uma função periódica, definida em todo o R, de período 2.

Os coeficientes de Fourier são dados por:

Temos então que a série de Fourier da função f é dada por:

Aplicação de Fourier para a resolução de uma Equação diferencial

Seja a equação diferencial:

Usando a definição seguinte: a