Senhor

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ESTÁTICA – DEC 3674

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3 Estática das estruturas planas
3.1 Cálculo das reações vinculares - apoios 3.1.1 Condições de equilíbrio estático
O equilíbrio estático de uma estrutura bidimensional (a estrutura considerada, as forças sobre ela aplicadas, as conexões e vínculos estão contidas no plano da figura) é dado por: Σ FH = 0 Sendo i um ponto qualquer da estrutura. Veja a figura abaixo.FH 1,0 m A D 5 kN C B 10 kN 4,0 m 2,0 m ΣFV = 0 RVC ΣFH = 0 F1 RHC ΣM(i) = 0 F2 Me Md C

Σ FV = 0 e Σ M(i) = 0

Σ FH = 0 Σ FV = 0 Σ M(i) = 0

Não existem forças horizontais aplicadas, portanto RHC = 0. As forças verticais atuantes são FA = 5 kN e FB = 10 kN, portanto RVC = 15 kN

Para qualquer ponto da estrutura, os momentos a esquerda e à direita deste ponto, deverão ser de mesmaintensidade e sentidos opostos, i é, sua soma deve ser nula. Σ M(C) = 0 5 x 4 = 10 x 2 20 (anti-horário) = 20 (horário)

Isto vale para qualquer ponto da estrutura, más, alguns pontos oferecem algumas facilidades, por exemplo, a somatória dos momentos no ponto C, não considera a reação RVC pois esta está aplicada no ponto C e portanto seu braço é nulo. O ponto D, ao contrário, considera todas as forçasaplicadas na estrutura. Σ M(D) = 0 5 x 1 = (10 x 5) – (15 x 3) 5 (anti-horário) = 5 (horário)

ESTÁTICA – DEC 3674

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3.1.2 Cálculo das reações de apoio
Determinar as reações de apoio para as vigas representadas abaixo

P ℓ/2 ℓ a) ℓ/2 x

P A ℓ b) B x ℓ c) B Kℓ

P

A

B

A

p A ℓ d) B A ℓ e) B kℓ

p A a

p B ℓ f)

p A ℓ g) B A

p1 B ℓ h)

p2 A ℓ i) P = 20 kN B

PKℓ

A 2,0 m 1,2 m 1,2 m j)

B 1,0 m 2,0 m

A 5,0 m k)

B 2,0 m

A figura abaixo mostra uma Viga Gerber. São três vigas, sendo que a central é apoiada nas extremidades dos balanços das outras duas. Como devem ser os apoios E e F? Determine todas as reações.
p = 12 kN/m

A 1,2 m

B 4,0 m 1,2 m

E 3,0 m

F

C 1,2 m

D 4,0 m 1,2 m

1,0 m

p = 12 kN/m

P = 20 kN

p =15 kN/m

p = 12 kN/m

60º

ESTÁTICA – DEC 3674

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3.2 Análise de treliças pelo método dos nós
Nas treliças os nós são articulações perfeitas, sem força de atrito, as forças são aplicadas apenas nos nós e, as barras transmitem apenas esforços normais. Para o equilíbrio do nó devem ser satisfeitas as seguintes equações: Σ Fx = 0 Exemplo 01:
1000 B 3,0 m 3,0 m 1000

e
B

Σ Fy = 04,243 m

β

A 3,0 m

C

RHA A RVA

3,0 m RVC

C

α

tg β = 3/3 = 1 Reações: Σ M(A) = 0 Σ Fx = 0 Σ Fy = 0 Equilíbrio dos nós Nó B

tg α = 3/3 = 1

α = β = 45º

sen 45º = cos 45º = 0,7071

0 = RVCx3 - 1000x3 0 = RHA + 1000 0 = RVA + RVC (+) Tração

RVC = 1000 RHA = -1000 RVA = -1000 (-) compressão
1000 N FBC

Σ FH = 0 = 1000 + RBC sen β Σ FV = 0 = RBA + FBC cos β Nó CΣ FV = 0 = RVC + FCB sen α Σ FH = 0 = FCA + FCB cos α Nó A Σ FV = 0 = RVA + FAB Σ FH = 0 = RHA + FAC

FBC = -1000 / sen β

FBC = - 1414,2 N

B FBA

β

FAB = - FBC cos β = 1000 N
FCB α FCA

FCB = - RVA / sen α = -1414,2 N ok!!!!!! FCA = - FBC cos α = 1000 N
RHA

C RVC

FAB A

FAC RVA

FAB = - RVA = 1000,0 N ok!!!!!! FAC = - RBA = 1000,0 N ok!!!!!!!

ESTÁTICA – DEC 367430

Solução Final Observe que foi feito equilíbrio dos nós. Se a barra é tracionada ela comprime o nó e vice-versa. Assim, uma força de tração no nó implica em uma de tração na barra, com mesma intensidade e direção.

1000 N 45º FAB = FBA = 1000,0 N Tração na barra FBC = FCB = - 1414,2 N Compressão na barra

45º 1000 N 1000 N FAC = FCA = 1000,0 N Tração na barra 1000 N

Exemplo 02:Calcular a treliça abaixo
3,0 m B B4 3,0 m B2 B1 A 3,0 m B3 B5 B7 B6 E 1000 N 3,0 m D H C 500 N 500 N 2,5981 m RHA RVA 3,0 m 3,0 m 1000 N RVD

Reações de apoio

Σ M(A) = 0 = (-1000x3)+(-500x2,5981)+RVDx6 Σ Fx = 0 = RHA + 500 = 0 Σ Fy = 0 = RVA + RVD - 1000 = 0 RVA = -716,51 + 1000

RVD = 716,51 N RHA = -500 N RVA = 283,49 N

Equilíbrio dos nós Nó A
B2 60º RHA RVA B1

Σ Fy = 0 = RVA + B2...
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