resumo de álgebra linear

Resumo de Álgebra Linear - Unidade 1
1 Dependência Linear
Defnição: Um conjunto de vetores X é dito linearmente independente(L.I.) se para todos v 1 , . . . , v n distintos em X e a 1 , . . . , a n ∈ R: a 1 v 1 + · · · + a n v n = 0 se e só se a 1 = a 2 = · · · = a n = 0.
As seguintes afirmações são equivalentes:
• X é L.I.
• para todo v ∈ X , v não é gerado por X − v.
Se v 1 , . . . , v n são vetores distintos, então as seguintes afirmações são equivalentes
• {v 1 , . . . , v n } é L.I.
• para cada k = 1..n, v k não é gerado por {v 1 , . . . , v k−1 }
Os conjuntos não linearmente independentes são chamados linearmente dependentes (L.D.) As seguintes afirmações são equivalentes:
• X é L.D.
• Existe v ∈ X tal que v é gerado por X − v.
• Existem v 1 , . . . , v n ∈ X distintos e coeficientes a 1 , . . . , a n não todos iguais a zero tais que a 1 v 1 + · · · + a n v n = 0
Para um conjunto X em um subespaço vetorial V de Rn equivalem:
• X é uma base de V
• X é L.I. e |X | = d i m(V )
• X é gerador de V e |X | = d i m(V )

2 Transformações Lineares
Definição: Se U e V são espaços vetoriais, e T : U → V é uma função tal que para quaisquer u, v ∈ U e a ∈ R temos
T (u + v) = Tu + T v e Tau = aTu, dizemos que T é uma transformação linear.
As seguintes afirmações são equivalentes para tal transformação:
• T é injetiva
• a imagem de qualquer conjunto L.I. de U é L.I. em V
• a imagem de alguma base de U é L.I. em V
• Tu = 0 se e só se u = 0
As seguintes afirmações são equivalentes para tal transformação:
• T é sobrejetiva
• a imagem de algum conjunto gerador de U é um conjunto gerador de V
• a imagem de qualquer conjunto gerador de U é gerador de V
As seguintes afirmações são equivalentes para tal transformação:
• T é bijetiva
• a imagem de uma base de U é uma base de V .
• a imagem de qualquer base de U é uma base de V .
As seguinte afirmações são válidas para qualquer transformação linear U
• Se T é injetiva, então d i m(U ) ≤ d i m(V ).
• Se T é sobrejetiva, então d i m(U )