Resumo Algebra Linear

Resumo de Álgera Linear III unidade
I. Produto interno:
É uma operação entre vetores que é característico de cada espaço vetorial. Essa operação
“pega” dois vetores e “retorna” um número real. Representamos o produto interno entre dois vetores, v e w, por
.
Existem diversos “produtos” entre vetores retornando números reais, mas para que ele seja interno é necessário que as seguintes condições sejam satisfeitas:
Para

vetores e

:

a)
b)
c)

;
;
;

d)

.

Obs.: Quando não é mencionado o produto interno, usa-se o produto interno canônico, que é o produto escalar visto em Geometria Analítica e Física I.
Ex.: Seja

e

o produto interno usual (canônico) entre eles é

.
II. Módulo de um vetor:
Para este assunto é melhor “esquecer” que módulo de um vetor refere-se ao „tamanho‟ dele. O módulo de um vetor é uma característica do próprio em relação a um determinado produto interno. Um mesmo vetor pode ter „módulos‟ diferentes, dependendo dos produtos internos usados, e por isso a ideia de „tamanho‟ acabaria confundindo um pouco.
O módulo de um vetor é definido como: produto interno, temos a garantia de que
).

(pela propriedade „d‟ do

III. Ângulo entre dois vetores:
Assim como o módulo, o ângulo entre dois vetores depende do produto interno em questão. Sabe-se da Geometria Analítica que:

Onde

é o menor ângulo formado entre os vetores. Portanto:

IV. Ortogonalidade de vetores:
Dois vetores são ditos ortogonais quando fazem um ângulo de 90º entre si, portanto vai depender do produto interno mas, garantidamente, eles serão ortogonais se o produto interno entre eles for zero (cos90º = 0). Ou seja, são ortogonais se:

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Resumo de Álgera Linear III unidade
IMPORTANTE: Uma base é dita ORTOGONAL se todos os seus vetores são ortogonais entre si.
É preferível que se trabalhe com bases ortogonais, pois facilita as contas.
Obs.: O vetor nulo é ortogonal a TODOS os vetores, inclusive a ele mesmo.
V. Normalização de