Resolu O Sistemas Lineares A4

Resolução Sistemas Lineares
Trata-se da resolução de sistemas do tipo a11x1 + a12x2 +....+a1nxn = b1 a21x1 + a22x2 +....+a2nxn = b2
.....

an1x1 + an2x2 +....+annxn = bn ou seja, na forma matricial:

onde aij são dados , xi são incógnitas e bi são dados.
Trata-se de calcular os valores das n variáveis xi , dadas n equações lineares. Resolver um sistema linear trata-se de calcular os valores das n variáveis xi , dadas n equações lineares.

Métodos para resolução de Sistemas Lineares
Métodos Diretos
Os Métodos Diretos triangularizam a matriz original dos coeficientes, permitindo, dessa forma, sua resolução.
Seja um sistema triangular :

0 x1 + 5 x2 – 3 x3 + 2 x4 = 19
6 x2 – 4 x3 + 2 x4 = 0
5 x3 – 3 x4 = 5
2 x4 = 10

Trata-se de uma matriz triangular, onde abaixo da diagonal principal todos os elementos são zeros.
A resolução é muito fácil, calculando-se a partir da última variável para a primeira. x4 = 5

x3 = 4

x2 = 1

x1 = 1,6

Se tivéssemos mil variáveis, a solução seria obtida, praticamente, com a mesma simplicidade, graças ao fato de o sistema ser triangular. Métodos Diretos

Métodos de Eliminação de Gauss
Imaginemos um sistema de três equações a três incógnitas, na forma triangular.
20 x1 + 8 x2 + 3 x3 = 41
10 x2 + 2 x3 = - 4
5 x3 = 15

A solução seria imediata, calculando-se de trás para a frente. x3 = 3

x2 = -1

Seja o sistema
10 x1 + 5 x2 + 3 x3 = 17
5 x1 + 8 x2 + 2 x3 = 19
2 x 1 + 3 x2 + 8 x3 = 0

x1 = 2

A idéia central do Método da Eliminação de Gauss, é a de transformar em triangular um sistema que não o seja, permitindo, assim, sua solução.
1º - Triangularização do sistema original.
Para eliminar x1 da segunda linha, basta multiplicar a primeira linha por 5/10 , isto é, por a21/a11 , o que torna o coeficiente de x1 na primeira linha igual ao de x1 na segunda linha.
Em seguida basta subtrair a primeira linha modificada da segunda, o que zerará o coeficiente de x1, eliminando-o da segunda equação.
Repetir essa operação para a terceira linha,