matrizes e determinantes
13535 palavras
55 páginas
Matrizes, Determinantes eSistemas de Equa¸c˜ oes Lineares
EXERC´ICIOS RESOLVIDOS
Margarida Maria da Silva
Jos´e Manuel de Oliveira Pires
Janeiro, 2012
Conte´udo
1 Matrizes e Determinantes
1
2 Sistemas de Equa¸c˜ oes Lineares
25
iii
Conte´ udo mmscarvalho@iscal.ipl.pt, jmpires@iscal.ipl.pt
iv
Cap´ıtulo
1
Matrizes e Determinantes
1. Considere as seguintes matrizes de elementos reais:
1 −4
1
A = −1
0 −2
−1
4
3
−4 3
B= 1 1
−1 1
−5 1
C= 0 1
3 0
e D uma matriz quadrada tal que D T = −D.
a) Mostre que A ´e invert´ıvel e calcule a sua inversa partindo da matriz [A | I].
Resolu¸c˜
ao:
r(A) = 3
1 −4
1 −4
1 1 0 0
−→
1 1 0 0
[A | I] = −1
0 −2 0 1 0 l2 + l1 0 −4 −1 1 1 0 = dimens˜ao de A pelo que existe A−1
−1
4
3 0 0 1 l 3 + l1 0
0 4 1 0 1
−→
1
0 0 −2 −4 −2
4 l1 − l3 4 −16 0 3 0 −1 l1 − l2 4 l1
41
1
5
4
1 − 16 l2
4 l2 + l3 0 -16 0 5 4
0 −16 0
1
−→
0
0 4 1 0
1
0
0 4
1
0
1
−→ l 4 3
1 0 0 − 21 −1 − 21
1
5
− 14 − 16
0 1 0 − 16
1
1
0 0 1
0
4
4
A−1
1
− 21 −1 − 12
5
1
= − 16
− 14 − 16
1
1
0
4
4
Cap´ıtulo 1. Matrizes e Determinantes
b) Justifique que as linhas de B s˜ao linearmente dependentes e escreva a terceira linha como combina¸c˜ao linear das restantes.
Resolu¸c˜
ao:
B3×2 ⇒ R(B) ≤ 2 < no de linhas = 3, logo B tem linhas linearmente dependentes.
−1 1
= α
−1 1
=
−4 3
+ β
−4 α + β
−4 α + β = −1
⇔
3α+β = 1
1 1
3α +β
⇔
⇔
β = 4α− 1
⇔
3α+4α− 1 = 1
β= α= 1
7
2
7
Pode escrever-se a linha 3 como combina¸c˜ao linear das restantes da seguinte forma:
L3 =
2
1
L1 + L2
7
7
c) Calcule (A B − C)T .
Resolu¸c˜
ao:
−9
0
−4 3
1 −4
1
AB = −1
0 −2 × 1 1 = 6 −5
5
4
−1 1
−1
4
3