Relatividade restrita

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http://www.dfisica.ubi.pt/~amoreira/lectnotes/relat.pdf
As limitações da Mecânica Newtoniana e a teoria da Relatividade Restrita
VARIAÇÃO DA MASSA COM A VELOCIDADE E MOMENTO LINEAR RELATIVÍSTICO
Vamos verificar agora como a transformação de Lorentz afeta a definição de quantidade de movimento e como se deve transformar a massa, de um sistema para outro.
Se procurarmos verificar a conservaçãoda quantidade de movimento observando uma colisão, a partir de dois referenciais que se movem um em relação a outro com velocidade u, e definirmos momento como sendomv (m constante), como se faz em mecânica Newtoniana, aplicando a transformação de velocidade (17) , chegaremos à conclusão de que o momento assim definido não pode se conservar, simultaneamente, em ambos os sistemas.
Se, por outrolado, quisermos impor a conservação da quantidade de movimento, seremos levados a uma nova definição da quantidade de movimento. Esta segunda opção resulta satisfatória e a nova definição de movimento, que resulta conveniente, e p = m(v)v onde se supõe, agora, que a massa relativística, não intervem apenas na definição de momento linear mas, como se verá mais adiante, é também um dos parâmetros dadefinição de energia relativística total.
A massa como função da velocidade não deve ser encarada como um artifício matemático mas, realmente, como uma medida tanto da inércia, como do poder de atração gravitacional que todos os “corpos” possuem. A experiência comprova plenamente que estas propriedades fundamentais da “matéria” dependem da velocidade do corpo.
Deixando de ser a massarelativística de um corpo uma propriedade intrínseca deste e passando a depender também do referencial de onde é observada, convém caracterizar uma partícula pela massa de repouso que é a massa quando observada de um referencial em relação ao qual a partícula está em repouso.
  Vamos agora obter a forma pela qual m depende de v.
Para isso vamos considerar uma colisão perfeitamente inelástica de duaspartículas inicialmente livres (isto é, após a colisão permanecerão unidas formando uma só partícula). Vamos estudar essa colisão, inicial- mente, num referencial S’ em relação ao qual as duas partículas se aproximam uma da outra de forma simétrica. Após a colisão, em relação a S’, a partícula resultante estará em repouso. 
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Em relação a S’ as velocidades iniciais das partículas são +u  e  -u  e amassa de cada uma delas é m(u) estamos assim supondo que a massa depende do módulo de u. A massa da partícula resultante da colisão é representada por m0 e é uma massa de repouso, pois é medida em relação a um referencial em relação ao qual tem velocidade nula.
Em relação a S’ o momento linear antes da colisão é:
m(u).u + m(u).(-u) = O
após a colisão o momento linear é zero, pois M0 está emrepouso.
Imaginemos agora um referencial S que se move da direita para a esquerda com velocidade -u em relação a S’.
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Em relação a S uma das partículas estará em repouso e terá massa m0, e a outra terá velocidade v e massa m(v) e a partícula resultante terá velocidade u e massa M(u). 
A situação em S está representada abaixo:
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Pela regra de transformação de velocidade [expressão (17)] de umsistema para outro, a velocidade v, em S, será:

Vamos admitir que em S o momento linear também é conservado:
            m(v).v = M(u).u         ==> (21)
Estamos supondo, como antes, que podemos escrever o momento linear como o produto da massa pela velocidade. Estamos admitindo que existe uma dependência ainda não especificada de m com v.
Vamos supor, ainda, que a massa (relativística)se conserva. Veremos mais adiante que essa hipótese se justifica. De fato, adiantando um pouco, pela equivalência de massa e energia, a inércia de um “objeto”, ou conjunto de objetos, depende de sua energia: assim, se um sistema está isolado, não trocando energia com outros sistemas, sua massa (relativística) permanece constante. Assim, estaremos identificando com massa (relativística) três...
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