prova calculo

Prova Sub

RER C´lculo em uma vari´vel a a

18/01/2014

R.A.:

Nome:

• O aluno que for pego colando estar´ com zero de m´dia final no curso. a e
• N˜o ´ permitido usar folhas de rascunho e qualquer aparelho eletrˆnico, inclusive calculadoras. a e o • Algumas f´rmulas que podem ser uteis: o ´
(f g) = f g + g f , (f /g) = (f g − g f )/g 2 , udv = uv −
V =

b
0

vdu,

2πxf (x)dx,

A=
L=

(f (g(x))) = f (g(x))g (x),

b
|f (x) − g(x)|dx, a b
2 1 + f (x)2 dx, a V =
S=

1. Considere a fun¸ao f : [−1 : 2] → R dada por f (x) = c˜ b
A(x)dx,
a b 2πf (x) a x
−1

Vcone =

Abase H
,
3

b πf (x)2 dx, a (x)2 dx.

V =
1+f

t + 2|t|dt.

a) (1.0) Calcule f (2).
b) (1.0) A fun¸˜o f ´ deriv´vel? Em caso afirmativo dˆ sua derivada, em caso negativo explique ca e a e o porquˆ. e c) (1.0) A fun¸˜o f ´ duas vezes deriv´vel? Em caso afirmativo dˆ sua segunda derivada, em ca e a e caso negativo explique o porquˆ. e 2. (1.5) Considere um recipiente na forma de um cone cujo raio da base mede 50 cent´ ımetros e altura de 250 cent´ ımetros. Suponha que o cone est´ cheio at´ uma altura de 100 cent´ a e ımetros e que a altura est´ aumentando a uma taxa de 5 cent´ a ımetros por segundo. Qual ´ a taxa de varia¸ao do e c˜ raio neste instante? Qual ´ a taxa de varia¸ao do volume neste instante? e c˜
3. (2.0) Esboce o gr´fico de f (x) = ln(4 − x2 ). a 1
4. Considere a fun¸ao f (x) = x . c˜ a) (0.5) Calcule a ´rea a baixo do gr´fico da fun¸ao f para x ∈ [1, 10]. a a c˜ b) (0.5) Para x ∈ [1, ∞), a area a baixo do gr´fico da fun¸˜o f ´ finita? Justifique.
´
a ca e
c) (0.5) Calcule o volume resultante da rota¸˜o em torno do eixo x da ´rea a baixo do gr´fico ca a a da fun¸ao f para x ∈ [1, 10]. c˜ d) (0.5) O volume resultante da rota¸ao em torno do eixo x da ´rea a baixo do gr´fico da fun¸˜o c˜ a a ca f para x ∈ [1, ∞) ´ finito? Justifique. e 5. Considere uma fun¸ao integr´vel f : R →