processos

UNIVERSIDADE ESTADUAL DE CIÊNCIAS DA SAÚDE DEALAGOAS - UNCISAL
Disciplina: CÁLCULO NUMÉRICO
Método Iterativo: Newton-Raphson ou das Tangentes
Departamento Superior Tecnológico de Análise e Desenvolvimento de Sistemas
Prof. MSc. Allan Gomes dos Santos
Em análise numérica, o método de Newton (ou método de Newton-Raphson) tem o objetivo de estimar as raízes de uma função. Para isso, toma-se um ponto qualquer do domínio da função, calcula-se a equação da tangente (derivada) da função nesse ponto, calcula-se o intercepto da tangente ao eixo das abcissas a fim de encontrar um novo ponto do domínio da função e repete-se o processo, que deve tender a uma das raízes da função rapidamente, ou não tender a nada, deixando isso claro logo. Em notação matemática representa-se desta forma:
, onde n indica a n-ésima iteração do algoritmo e é derivada da função f em xn.

Método de Newton:
O método de Newton (Newton-Raphson ou das Tangentes) consiste em tomar como a aproximação seguinte, o ponto de interseção do eixo x com a reta t, tangente ao gráfico de f(x) no ponto (a, f(a)) ou (b, f(b)).Graficamente

y f(b)

f(x) t1 a t2 x x2 x1 x0= b f(a)
Sabemos que: , de modo que: e ,
Como b= x0, temos:
Que na forma recursiva fica:
Exemplo resolvido:
Determinar as raízes reais da equação f (x) = x3 − x − 4 = 0 com erro inferior a 10-4, sendo x0 = 2. n f(xn) f´(xn) f(xn)/f´(xn)
0 xo=2.000000000 2.000000000 11.000000000 0.181818181
1 x1=1.818181818 0.192336589 8.917355372 0.021568792
2 x2=1.796613026 0.002527490 8.683455090 0.000291069
3 x3=1.796321956 0.000000456 8.680317707 0.000000052
4 x4=1.796321903 --- ---