Processos Estocasticos

Processo Estocástico:

Um processo estocástico é uma família de variáveis aleatórias {X(t), t ∈ T} definidas em um espaço de probabilidade, indexado por um parâmetro t, onde t varia no conjunto T. Então se uma variável aleatória é um número real que varia aleatoriamente, um processo estocástico é uma função temporal que varia aleatoriamente.
Lembrando que uma variável aleatória é uma função definida num espaço amostral Ω. Então, o processo estocástico {X(t), t ∈ T} é uma função de dois argumentos {X(t, ω), t ∈ T, ω ∈ Ω}. Para um t = t0 fixo, X(t0, ω) = Xt0 (ω) é uma variável aleatória denotada por X(t0) já que ω varia no espaço amostral Ω.

Exemplos de aplicações:

1. Geofísica, variações no campo magnético da Terra.
2. Biofísica, variações nos potenciais elétricos do cérebro registrados em um eletroencefalograma.
3. Economia, fluxo de commodities na bolsa de valores.

Cadeia de Markov:

Um processo de Markov Xt é um processo estocástico com a propriedade de que, dado o valor de Xt os valores de Xs, para t < s não são influenciados pelos valores de Xu para u < t. Ou seja, a probabilidade de qualquer comportamento futuro do processo, quando o seu estado atual é conhecido exatamente, não é alterada pelo conhecimento adicional sobre seu comportamento passado. Se o conjunto de índices for discreto a cadeia de Markov segue da seguinte forma: Onde é a probabilidade do evento A ocorrer dado que o evento B ocorreu e é o valor (imediatamente anterior) obtido.

Este processo possui aplicação na agricultura onde a hipótese de que as ocorrências de dias secos e chuvosos são condicionalmente dependentes da sequência dos dias secos e chuvosos anteriores.

Cada valor assumido por Xt pode ser classificado por um valor de estado onde o escopo das variáveis é chamado de espaço de estados, onde Xn denota o estado do processo no tempo n. Se a distribuição de probabilidade condicional de Xn+1 nos estados passados é uma função apenas de Xn, então:

Cadeia