Problemas de otimização com máximos e mínimos

7. Diferenciação Implícita
` Sempre que temos uma função escrita na forma y = f(x), dizemos que y é uma função explícita de x, pois podemos isolar a variável dependente de um lado e a expressão da função do outro. Porém nem sempre isso é possível ou conveniente e, caso isso ocorra, dizemos que y é uma função implícita de x. Vejamos, por exemplo, a equação y = 2x2 – 3. Observamos que y é uma função explícita de x, pois podemos escrever y = f (x), onde f (x) = 2x2 – 3. Entretanto, a equação 4x2 – 2y = 6 define a mesma função, pois isolando y obtemos y = 2x2 – 3. Quando escrita na forma 4x2 – 2y = 6, dizemos que y é uma função implícita de x. Observação: É necessário tomar cuidado, pois muitas vezes uma equação em x e y pode definir mais de uma função implícita. Exemplo: A equação x2 + y2 = 1 pode definir várias funções implícitas, tais como y = 1 − x 2 ,

 1 − x 2 , − 1 ≤ x ≤ 0,3  y = − 1− x2 , y =  − 1 − x 2 , 0,3 < x ≤ 1  y 1

, dentre outras. Vejamos os seus gráficos: y y

1

x −1 1
−1 1 x

x −1 1

−1

−1

Derivação: Para derivar uma função dada na forma implícita, basta lembrar que y é função de x e

usar a regra da cadeia.
Exemplos: a) Dada a equação 4x2 – 2y = 6, determine y’(x).

Para não esquecermos que y é função de x, podemos escrever a equação como 4x2 – 2y(x) = 6. Assim, derivando ambos os lados em relação à x, obtemos 8x – 2 y’(x) = 0 ou y’(x) = 4x, que coincide com a derivada de y = 2x2 – 3.

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b) Faça o mesmo para x2 y + 2y 3 = 3x + 2y

ou

x2 y(x) + 2[y(x)] 3 = 3x + 2y(x)

Derivando ambos os lados em relação à x, temos: 2x y(x) + x2 y’(x) + 6[y(x)] 2 y’(x) = 3 + 2 y’(x) y’(x) [x2 + 6[y(x)] 2 – 2] = 3 – 2x y(x) ⇒ y’(x) =
3 − 2 xy x + 6y2 − 2
2

c) Mostre que a reta tangente à circunferência dada por x2 + y2 = r2, em um ponto qualquer sobre

ela, é perpendicular à reta que passa por este ponto e a origem (reta que contém o raio neste ponto). Solução: Seja (x1, y1) um ponto qualquer sobre a