probabilidade condicional ime unicamp

Teorema de Bayes
Exemplo
30% dos empregados de uma empresa s˜ao mulheres e o restante homens; 3/10 das mulheres s˜ao fumantes, enquanto 11/70 dos homens s˜ao fumantes. Calcule:
(a) A probabilidade de um indiv´ıduo sorteado ser mulher e fumante; (b) A probabilidade de um indiv´ıduo sorteado ser homem e fumante; (c) A probabilidade de um homem ser fumante;
(d) A probabilidade de um homem ser n˜ao fumante;
(e) A probabilidade de um fumante ser homem.
Fonte: Prof. Mario Gneri, Notas de Aula.
Organiza¸c˜
ao: Rafael Tovar, Diego Bernardini, Beatriz Cuyabano, Guilherme Ludwig
Aula de Exerc´ıcios - T´ ecnicas de contagem & Probabilidade condicional, exerc´ıcios adicionais

Teorema de Bayes
(a) Conhecemos P(mulher) = 0,3, e al´em disso,
P(fumante|mulher) = 0,15. Ent˜ao a probabilidade do evento
“mulher e fumante”, dado por {mulher ∩ fumante}, ´e dada por
P(mulher ∩ fumante) = P(fumante|mulher)P(mulher)
= 0,3 · 0,3 = 0,09
(b) De maneira similar, temos que
P(homem ∩ fumante) = P(fumante|homem)P(homem)
= 0,7 · 11/70 = 0,11
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(c) Aqui, estamos analisando uma restri¸c˜ao da popula¸c˜ao, isto ´e,
“dentre os homens, quais s˜ao fumantes”? O evento em quest˜ao ´e {fumante|homem} e a probabilidade ´e dada pelo enunciado, P(fumante|homem) = 11/70
(d) Temos que
P(fumantec |homem) = 1 − P(fumante|homem) = 59/70 pois a probabilidade condicional preserva a propriedade de complemento da probabilidade, isto ´e, P(Ac |B) = 1 − P(A|B).
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Teorema de Bayes
(e) Para encontrar esta probabilidade, devemos utilizar o Teorema de Bayes, isto ´e,
P(B|A) =

P(A|B)P(B)
P(A)

No contexto do problema, queremos P(homem|fumante), que
´e