Primitivas imediatas

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Universidade Lusófona de Humanidades e Tecnologias
Faculdade de Engenharia e Ciências Naturais
Cálculo II
Licenciaturas em Engenharia Alimentar, Engenharia do Ambiente, Engenharia
Biotecnológica, Engenharia Civil, Engenharia Electrotécnica, Engenharia e Gestão
Industrial
2º Semestre 2010/2011
Aleksandar Mikovic / André Fonseca / Bruno Simões / Conceição Povoas
Ana Paula Macedo / AndréFonseca / Jaime Prata / Misha Protin / Olga Pinho / Paulo Campos

Ficha 2 – Primitivas Imediatas
Parte I – Exercícios Propostos
I.1 Calcule as seguintes primitivas, utilizando a regra de primitivação:

P u  u k 

u k 1
 C, k  1
k 1

a) Px 2

b) P  x  5

d) Px 2  2x 3  2 

e) P2x  5  6x 2  2

g) P

x

x

c) P  2x  3

3

2

 3

3

j) P  x  12x  2  x 2

1

h) P

x

f) P

2

 x  2

2

2

i) P

2x

2

3

 x  4

2

l) P  3x 2  5x  2 

I.2 Calcule as seguintes primitivas, utilizando a regra de primitivação:

P u   eu  eu  C
a) Pex 1

b) Px 2 e2x

3

I.3Calcule as seguintes primitivas, utilizando a regra de primitivação:

P

a) P

1
x2

b) P

5x
x 4
2

u
 ln u C
u
c) P  5x  4 

1

I.4 Calcule as seguintes primitivas, utilizando a regra de primitivação:

P u  au 

au
C
ln a
b) Psenx  2cos x

a) P4x

I.5 Calcule as seguintes primitivas, utilizando a regra de primitivação:

P u cos u  sen u  C
a) P cos  2x 

b) P

4

 2x 
cos 

 x 1
 x  1
2

I.6 Calcule as seguintes primitivas, utilizando a regrade primitivação:

P u sen u   cos u  C



a) Px  ex 1sen ex
2

2

1





b) Px  sen  2x 2  



I.7 Calcule as seguintes primitivas, utilizando a regra de primitivação:

u

P

a) P

2x  1
1   3x 2  3x 

2

1 u2
b) P

 arcsen u  C

x
4  9x

4

c) P

1
1  4x 2

I.8 Calcule as seguintes primitivas, utilizando a regra deprimitivação:

P
a) P

u
 arc tg u  C
1 u2

x3
x8  4

b) P

x5
9x12  16

________________________________________________________________________________
2
Elaborado por Maria Cristina Jorge e João Prata

Parte II – Exercícios Resolvidos
II.1Calcule as seguintes primitivas, tendo em conta que a, b e c são constantes arbitrárias:
a) Psen x ecos x
Resolução:

Psen xecos x

P  sen x ecos x 




x 2 earc senx

ecos x  C

Usando a regra de primitivação

Regra de primitivação: P u eu eu  C
 u= cos x
em que 

 u =  sen x


b) P




enunciada na igualdade anterior

3

1  x6
Resolução:

P

x 2 earc sen x
1 x

3



6



3
1
3x 2
P
earc sen x
6
3
1 x




Usando a regra de primitivaçãoRegra de primitivação: P u eu eu  C

em que

 u= arcsen x3



3x 2
 u =

2

1  x3 







1 arc sen x3
e
C
3

enunciada na igualdade anterior


3x 2
1 x6

c) P 2x
Resolução:
1

1
2

1
1
P 2x  P  2x   P2  2x  2
2

Regra de primitivação:
u k 1
P u u k 
 C, k 1
k 1

1
 u=2x, k=
2
em que 
 u = 2


 2x 
3



3

1  2x  2
1  2x  2
12
C 
C 
2 1 1
23
23
2
2
1

 2x 

3

C



Usando a regra de primitivação
enunciada na igualdade anterior

3

C 

23 x 3
C 
3

22  2x 2  x
2x 2x
C 
C
3
3

 2a b

 2  3c 3 x 2 
d) P 
xx


Resolução:
2
1
1
1
1
 2a b

P
 2  3c 3 x 2   2aP
 bP 2  3cP 3 x 2  2aP 1 bP 2  3cPx 3
x
x
x
xx

x2

Pelas propriedades:
P  f  x   g  x    P f  x   P g  x ;


P   f  x    P f  x 



 2aPx



1
2

2

 bPx 2  3cPx 3

________________________________________________________________________________
3
Elaborado por Maria Cristina Jorge e João Prata

2

1
 1

5

1

1

x2
x 2 1
x3
 2a...
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