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PROGRESSÃO ARITMÉTICA - GABARITO


1) Determine o 201o termo da P.A. [pic]


Solução


a1 = 530
n = 201
r = a2 – a1 = 510 – 530 = – 20
a201 = ?


an = a1 + ( n – 1). r
a201 = a1 + 200. r
a201 = 530 + 200. (– 20)
a201 = 530 – 4000
a201 = – 3470 R: a201 = –3470

2) Numa P.A., temos a1 = [pic] e a6 = 5. Calcule a razãodessa P.A..


Solução


a1 = [pic]
a6 = 5
r = ?


an = a1 + ( n – 1). r
a6 = a1 + 5.r
5 = [pic] + 5.r
5 r = 5 – [pic]
5 r = [pic] ( r = [pic] R: r = [pic]

3) O décimo termo de uma P.A. de razão –5 é –17. Calcule o 1o termo.


Solução


a10 = –17
r = –5
a1 = ?


an = a1 + ( n – 1). r
a10 =a1 + 9.r
–17 = a1 + 9.( –5)
–17 = a1 –45
–17 + 45 = a1
a1 = 28 R: a1 = 28



4) Quantos termos tem a P.A. (4, 9, 14,(, 59)?


Solução


a1 = 4
r = a2 – a1 = 9 – 4 = 5
an = 59
n = ?


an = a1 + ( n – 1). r
59 = 4 + ( n – 1). 5
59 = 4 + 5n – 5
59 = 5n – 1
5n = 60
n = 12R: n = 12

5) Uma criança anêmica pesava 8,3 kg. Iniciou um tratamento médico que fez com que engordasse 150 g por semana durante 4 meses. Quanto pesava ao término da 15a semana de trata-mento?

Solução


A sequência (8300, 8450, 8600, ...) é uma P.A. onde a1 = 8300g é o peso inicial da criança, a2 = 8450g o peso da criança aotérmino da 1ª semana de tratamento, a3 = 8600g o peso ao término da 2ª semana e, assim por diante. Assim, o termo a16 representa o peso da criança ao término da 15ª semana:


a1 = 8300
r = 150
a16 = ?

an = a1 + ( n – 1). r
a16 = a1 + 15.r
a16 = 8300 + 15.150
a16 = 8300 + 2250 = 10550


A criança pesava ao término da 15ª semana 10550g ou 10,55 kg.6) As medidas dos lados de um triângulo são expressas por x + 1, 2x e x2 – 5, e nessa ordem formam uma P.A. Qual é o perímetro do triângulo?


Solução


A sequência (x+1, 2x, x2 –5) é uma P.A., então a razão é constante. Logo,
r = a2 – a1 = a3 – a2
Assim,


2x – (x +1) = x2 – 5 – 2x
2x – x – 1= x2 – 5 – 2x
x2– 3x – 4 = 0
[pic]
[pic] [pic]x1 = 4 ou x2 = –1 (não serve, pois a medida do lado de um triângulo é positiva). Logo, x = 4 e os lados do triângulo medem:


x +1 = 4+1 = 5
2x = 2.4 = 8
x2–5 = 42–5 = 16–5 = 11.


Portanto, o perímetro do triângulo é 5+8+11=24.

7) Nos quilômetros 31 e 229 de uma rodovia estão instalados telefones de emergência. Ao longo da mesma rodovia e entre estes quilômetrospretende-se instalar 10 outros telefones de emergência. Se os pontos adjacentes de instalação dos telefones estão situados a uma mesma distância, qual é esta distância, em quilômetros?


Solução


Este é um problema de interpolação aritmética: inserir 10 meios aritméticos entre 31 e 229, formando, assim, uma P.A. de 12 elementos cujos termos representam os km onde cada poste será instalado e arazão, a distância entre os postes. Então:


a1 = 31
a12 = 229
r = ?


an = a1 + (n – 1). r
a12 = a1 + 11r
229 = 31 +11r
229 – 31= 11r
11r = 198
r = 18


A distância entre os postes é de 18 km.


8) Imagine que fossem construídos outros quadrados conforme sugerem as figuras. Observe a seqüência que indica o número de pontos assinalados de cadafigura. Esses números formam uma progressão aritmética. Escreva o termo geral dessa progressão.






















Solução


A sequência que indica o número de pontos assinalados de cada figura éuma P.A.:
(4, 8, 12, ...)
Então, seu termo geral é dado pela fórmula:


an = a1 + ( n – 1). r
an = 4 + ( n – 1).4
an = 4 + 4n – 4
an = 4n...
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