polinômios - resolução

POLINÔMIOS
Questão 1
Considerando que p(x) = 2x³ – kx² + 3x – 2k, para que valores de k temos p(2) = 4?
Resposta Questão 1 p(x) = 2x³ – kx² + 3x – 2k p(2) = 4
2 * 2³ – k * 2² + 3 * 2 – 2k = 4
16 – 4k + 6 – 2k = 4
– 4k – 2k = – 16 – 6 + 4
– 6k = –18 *(–1)
6k = 18 k = 3
Temos que o valor de k é igual a 3.
Questão 2
Determine o valor de a e b no polinômio p(x) = x³ + ax² + (b – 18)x + 1, sabendo que 1 é raiz do polinômio e p(2) = 25.
Resposta Questão 2 p(x) = x³ + ax² + (b – 18)x + 1
Sabendo que 1 é raiz temos: p(1) = 0
1³ + a * 1² + (b – 18) * 1 + 1 = 0
1 + a + b – 18 + 1 = 0 a + b = 16
Fazendo p(2) = 25
2³ + a * 2² + (b – 18) * 2 + 1 = 25
8 + 4a + 2b – 36 + 1 = 25
4a + 2b = 25 + 36 – 8 – 1
4a + 2b = 52 :(2)
2a + b = 26 a + b = 16
2a + b = 26 a = 16 – b
2 * (16 – b) + b = 26
32 – 2b + b = 26
– b = 26 – 32
– b = – 6 b = 6 a = 16 – b a = 16 – 6 a = 10
Os valores de a e b são respectivamente 10 e 6.
Questão 3
Temos que a raiz do polinômio p(x) = x² – mx + 6 é igual a 6. Calcule o valor de m.
Resposta Questão 3 p(x) = x² – mx + 6 p(6) = 0
6² – m * 6 + 6 = 0
36 – 6m + 6 = 0
– 6m = – 42 *(–1)
6m = 42 m = 42/6 m = 7
O valor de m que satisfaz as condições informadas é 7.
Questão 4
(FEI–SP)
Determine A, B e C na decomposição Resposta Questão 4

Os valores de A, B e C são respectivamente iguais a 1/3, –1/3 e –2/3.
Questão 5
(FAAP–SP)
Calcule os valores de a, b e c para que o polinômio p(x) = a(x + c)³ + b(x + d) seja idêntico a p(x) = x³ + 6x² + 15x + 14.
Resposta Questão 5 a(x + c)³ + b(x + d) = x³ + 6x² + 15x + 14 a(x³ + 3x²c + 3xc² + c³) + bx + bd = x³ + 6x² + 15x + 14 ax³ + 3x²ac + 3axc² + ac³ + bx + bd = x³ + 6x² + 15x + 14 ax³ + 3x²ac + x(3ac² + b) + (ac³ + bd) = x³ + 6x² + 15x + 14 a = 1
3ac = 6
3ac² + b = 15 ac³ + bd = 14
Dessa forma:
3ac = 6
3 * 1 * c = 6
3c = 6 c = 2
3ac² + b = 15
3 * 1 * 2² + b = 15
12 + b = 15 b = 3 ac³ + bd = 14
1 * 2³ + 3 * d = 14
8 + 3d = 14
3d = 14 – 8