Polinomios

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POLINÔMIOS

• Definição

Uma função polinomial ou simplesmente polinômio, é toda função definida pela relação P(x)=anxn + an-1.xn-1 + an-2.xn-2 + ... + a2x2 + a1x + a0.
Onde:
an, an-1, an-2, ..., a2, a1, a0 são números reais chamados coeficientes.
n ( IN
x ( C (nos complexos) é a variável.

GRAU DE UM POLINÔMIO:

Grau de um polinômio é o expoente máximo queele possui. Se o coeficiente an(0, então o expoente máximo n é dito grau do polinômio e indicamos gr(P)=n. Exemplos:
a) P(x)=5 ou P(x)=5.x0 é um polinômio constante, ou seja, gr(P)=0.
b) P(x)=3x+5 é um polinômio do 1º grau, isto é, gr(P)=1.
c) P(x)=4x5+7x4 é um polinômio do 5º grau, ou seja, gr(P)=5.

Obs: Se P(x)=0, não se define o grau do polinômio.

• Valor numérico

Ovalor numérico de um polinômio P(x) para x=a, é o número que se obtém substituindo x por a e efetuando todas as operações indicadas pela relação que define o polinômio. Exemplo:
Se P(x)=x3+2x2+x-4, o valor numérico de P(x), para x=2, é:
P(x)= x3+2x2+x-4
P(2)= 23+2.22+2-4
P(2)= 14

Observação: Se P(a)=0, o número a chamado raiz ou zero de P(x).
Por exemplo, no polinômioP(x)=x2-3x+2 temos P(1)=0; logo, 1 é raiz ou zero desse polinômio.

Alguns exercícios resolvidos:

1º) Sabendo-se que –3 é raiz de P(x)=x3+4x2-ax+1, calcular o valor de a.
Resolução: Se –3 é raiz de P(x), então P(-3)=0.
P(-3)=0 => (-3)3+4(-3)2-a.(-3)+1 = 0
3a = -10 => a=-10/3
Resposta: a=-10/3

2º) Calcular m ( IR para que o polinômio
P(x)=(m2-1)x3+(m+1)x2-x+4seja:
a) do 3ºgrau b) do 2º grau c) do 1º grau

Resposta:
a) para o polinômio ser do 3º grau, os coeficientes de x2 e x3 devem ser diferentes de zero. Então:
m2-1(0 => m2(1 => m(1
m+1(0 => m(-1
Portanto, o polinômio é do 3º grau se m(1 e m(-1.

b) para o polinômio ser do 2º grau, o coeficiente de x3 deve ser igual a zero e o coeficiente de x2 diferentede zero. Então:
m2-1=0 => m2=1 => m=(1
m+1(0 => m(-1
Portanto, o polinômio é do 2º grau se m=1.

c) para o polinômio ser do 1º grau, os coeficientes de x2 e x3 devem ser iguais a zero. Então:
m2-1=0 => m2=1 => m=(1
m+1=0 => m=-1
Portanto, o polinômio é do 1º grau se m=-1.

3º) Num polinômio P(x), do 3º grau, o coeficiente de x3 é 1. SeP(1)=P(2)=0 e P(3)=30, calcule o valor de P(-1).
Resolução:
Temos o polinômio: P(x)=x3+ax2+bx+c.
Precisamos encontrar os valores de a,b e c (coeficientes).
Vamos utilizar os dados fornecidos pelo enunciado do problema:

P(1)=0 => (1)3+a.(1)2+b(1)+c = 0 => 1+a+b+c=0 => a+b+c=-1
P(2)=0 => (2)3+a.(2)2+b(2)+c = 0 => 8+4a+2b+c=0 => 4a+2b+c=-8
P(3)=30 => (3)3+a.(3)2+b(3)+c = 30 =>27+9a+3b+c=30 => 9a+3b+c=3

Temos um sistema de três variáveis:

Resolvendo esse sistema encontramos as soluções:
a=9, b=-34, c=24
Portanto o polinômio em questão é P(x)= x3+9x2-34x+24.
O problema pede P(-1):
P(-1)= (-1)3+9(-1)2-34(-1)+24 => P(-1)=-1+9+34+24
P(-1)= 66
Resposta: P(-1)= 66

• Polinômios iguais

Dizemos que dois polinômios A(x) e B(x) são iguais ou idênticos (eindicamos A(x)(B(x)) quando assumem valores numéricos iguais para qualquer valor comum atribuído à variável x. A condição para que dois polinômios sejam iguais ou idênticos é que os coeficientes dos termos correspondentes sejam iguais.
Exemplo:
Calcular a,b e c, sabendo-se que x2-2x+1 ( a(x2+x+1)+(bx+c)(x+1).
Resolução: Eliminando os parênteses e somando os termos semelhantes do segundomembro temos:
x2-2x+1 ( ax2+ax+a+bx2+bx+cx+c
1x2-2x+1 ( (a+b)x2+(a+b+c)x+(a+c)
Agora igualamos os coeficientes correspondentes:

Substituindo a 1ª equação na 2ª:
1+c = -2 => c=-3.
Colocando esse valor de c na 3ª equação, temos:
a-3=1 => a=4.
Colocando esse valor de a na 1ª equação, temos:
4+b=1 => b=-3.
Resposta: a=4, b=-3 e c=-3.

Obs: um...
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