Poliedros

COLÉGIO PEDRO II - UNIDADE SÃO CRISTÓVÃO III 3ª SÉRIE – MATEMÁTICA II – PROFº WALTER TADEU www.professorwaltertadeu.mat.br

LISTA DE POLIEDROS – 2011- GABARITO

1) Observando a figuras e simplesmente contando, determine o número de faces, arestas e o vértices dos poliedros convexos mostrados. Verifique se satisfazem a relação de Euler.
Solução. Pela contagem direta e testando a relação A + 2 = V + F, temos:

a) .

b) .

2) Determine qual é o poliedro convexo e fechado que tem 6 vértices e 12 arestas.

Solução. Pela relação de Euler, temos: 12 + 2 = 6 + F  F = 14 – 6 = 8. Octaedro.

3) Determine o nº de vértices de dodecaedro convexo que tem 20 arestas.

Solução. O dodecaedro possui 12 faces. Pela relação de Euler, temos: 20 + 2 = V + 12  V = 22 – 12 = 10.

4) Determine a soma das medidas dos ângulos internos de todas as faces de um poliedro convexo e fechado que tem 6 vértices.

Solução. A fórmula que associa o número de vértices e a soma dos ângulos internos de todas as faces de um poliedro convexo é: S = (V – 2).360º. Logo, S = (6 – 2).360º = (4).(360º) = 1440º.

5) Determine a soma das medidas dos ângulos internos de todas as faces de um poliedro convexo e fechado que tem 10 faces triangulares e 2 faces quadrangulares.

Solução. Cada face triangular possui soma dos ângulos internos igual a 180º. Cada face quadrangular possui soma dos ângulos internos iguais a 360º.
Logo a soma total será: 10(180º) + 2(360º) = 1800º + 720º = 2520º.

6) Determine o número de faces de um poliedro convexo e fechado que tem 5 ângulos tetraédricos e 6 ângulos triédricos.

Solução. Nos ângulos tetraédricos concorrem quatro arestas e nos triédricos, três arestas. Utilizando a fórmula que calcula o número de arestas com esses dados e a relação de Euler, temos:

.

7) Determine o número de faces de um poliedro convexo e fechado, sabendo que o nº de arestas excede o número de vértices de 6 unidades.

Solução. De acordo com as informações, A = V + 6.