Poliedros convexos regulares

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Ano lectivo 2011/2012

MATEMÁTICA

Catarina Oliveira
Andreia Diogo
Daniel Simões
Samuel Félix
10ºE
Poliedros convexos regulares

Um poliedro convexo regular é um polígono cujas faces sãotodas iguais e regulares. Existem apenas cinco sólidos platónicos (poliedros convexos regulares):

Cubo
Tetraedro
Icosaedro


Octaedro
Dodecaedro

Diz-se que um poliedro é platónico se:
a)For convexo;
b) Em todo vértice concorrer o mesmo número de arestas;
c) Todas as faces tiverem o mesmo número de arestas;
d) For válida a relação de Euler (F+V=A+2).

Em cada vértice de umpoliedro teremos o encontro de pelo menos três de suas faces. O ângulo formado por essas faces deverá ser menor que 360° para que esse poliedro seja regular.
Analisando cada caso observamos que:

Parao caso de 3 faces ligadas a um vértice, o mínimo de faces necessárias para formam um ângulo sólido:
* Quando as faces do poliedro forem triângulos regulares (ângulo interno 60°), teremos 3 * 60°= 180°.
* Quando as faces do poliedro forem quadrados regulares (ângulo interno 90°), teremos 3 * 90° = 270°.
* Quando as faces do poliedro forem pentágonos regulares (ângulo interno 108°),teremos  3 * 108° = 324°.
* Quando as faces do poliedro forem hexágonos regulares (ângulo interno 120°), teremos  3 * 120° = 360°, o que contradiz a nossa hipótese.
Logo, verificamos para essecaso que as faces dos poliedros regulares não podem ser formadas por polígonos regulares com mais de cinco lados.

Para o caso de 4 faces ligadas a um vértice:
* Quando as faces do poliedroforem triângulos, teremos 4 * 60° = 240°.
* Quando as faces do poliedro forem quadrados, termos 4 * 90° = 360°, o que contradiz a nossa hipótese.
Logo, verificamos para esse caso que um poliedroregular construído com 4 faces a partir de um vértice, poderá ter apenas faces triangulares.

Para o caso de 5 faces ligadas ao mesmo vértice:
* Quando as faces do poliedro forem triângulos,...
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