Os numeros complexos

Disponível somente no TrabalhosFeitos
  • Páginas : 9 (2154 palavras )
  • Download(s) : 0
  • Publicado : 21 de janeiro de 2013
Ler documento completo
Amostra do texto
Os números complexos
História
Historicamente, os números complexos começaram a ser estudados graças à grande contribuição do matemático Girolamo Cardano (1501-1576). Esse matemático mostrou que mesmo tendo um termo negativo em uma raiz quadrada era possível obter uma solução para a equação do segundo grau: x2 – 10x +40 = 0. Essa contribuição foi de grande importância, pois até então osmatemáticos não acreditavam ser possível extrair a raiz quadrada de um número negativo. A partir dos estudos de Girolamo Cardano, outros matemáticos estudaram sobre esse impasse na matemática, obtendo uma formalização rigorosa com Friedrich Gauss (1777-1855).
O conjunto dos números complexos é o conjunto que possui maior cardinalidade, afinal ele contém todos os outros conjuntos. É necessário, pois,compreender os processos das operações (aritméticas, trigonométricas, algébricas) envolvendo elementos desse conjunto, assim como a representação geométrica dos números complexos.Portanto, nessa seção serão abordados assuntos como: concepções básicas do número complexo, operações aritméticas com números complexos, operações trigonométricas com os números complexos, o Plano de Argand-Gauss, entreoutros artigos que se relacionam com os números complexos – números de grande importância e aplicabilidade.

Unidade imaginária
Por definição, a unidade imaginária i é uma solução da equação polinomial (quadrática) seguinte:

Da qual decorre:

Ou, já a exibir a feição do problema-solução:

que, por definição, é a unidade imaginária i.
Então, formal e recursivamente, unidade imaginária é onúmero expresso por:

A denominação "imaginário" pode ser entendida como a ser um recurso imaginativo da mente humana: já que não há número real cujo quadrado seja negativo — e isso é consistente — imagina-se (donde o nome...) que haja um número especial, dotado de propriedade tal que satisfaça tal exigência. Isso, em linguagem simples (porém de forma alguma desprovida de verdade perfeitamatemática) é no que consiste a transcendência. Isso significa, portanto, a gênese duma nova classe de números: os números imaginários.

A forma algébrica
Analise o esquema abaixo:

Podemos concluir que em relação à definição, quando aplicamos a adição ou a multiplicação na forma (a; 0) e (b; 0) recusamos o ( ; 0) e calculamos somente a soma ou o produto dos números reais a e b.
Sendo assim,os números complexos (a; 0) e (b; 0) são substituídos por a e b, respectivamente.
Representamos assim:

2) O número complexo (0; 1) é denominado unidade imaginária, seno simbolizado por i. O valor de i2 é -1. Sendo assim:
i2 = i . i = (0; 1) . (0; 1) = (0 – 1; 0 + 0) = (-1; 0) = -1
Logo:
3) Os números complexos de forma (0; y) são denominados imaginários puros e são iguais a yi.Sendo assim:
y . i = (y; 0) . (0; 1) = (0 – 0; y + 0) = (0; y)
Logo:
4) O número complexo z = (x; y) também pode ser representado na forma z = (x; 0) + (0; y). Considerando (x; 0) = x conforme o item (1), e (0; y) = yi conforme o item (3), logo:
Esta é uma forma algébrica de z

O conjunto de números complexos

A criação do conjunto dos números Reais se deu ao longo de todo o processode evolução da Matemática, atendendo às necessidades da sociedade. Na busca por novas descobertas, os matemáticos esbarraram em uma situação oriunda da resolução de uma equação do 2º grau. Vamos resolver a equação x² + 2x + 5 = 0 aplicando o Teorema de Bháskara:


Note que ao desenvolver o teorema nos deparamos com a raiz quadrada de um número negativo, sendo impossível a resolução dentro doconjunto dos números Reais, pois não existe número negativo que elevado ao quadrado tenha como resultado número negativo. A resolução destas raízes só foi possível com a criação e adequação dos números complexos, por Leonhard Euler. Os números Complexos são representados pela letra C e mais conhecidos como o número da letra i, sendo designada nesse conjunto a seguinte fundamentação: i² = -1....
tracking img