Numeros complexos

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1 Introdu¸c˜ao
Como se sabe os conceitos dos entes (objetos) matem´aticos vieram evoluindo
ao longo do tempo, como por exemplo o conceito de fun¸c˜ao (ver [5]). Enquanto
o conceito (defini¸c˜ao) de fun¸c˜ao hoje encontra-se “fechado”; digo, perfeitamente
compreendido, o mesmo n˜ao acontece com o importante conceito de n´umero,
assim creio.
Neste artigo, n˜ao apenas estaremos mostrando queos matem´aticos ainda
hoje trope¸cam no conceito de n´umero como tamb´em construiremos uma defini¸c˜ao
− de tal ente − a qual tem nos rendido bons dividendos; digo, uma defini¸c˜ao
plenamente satisfat´oria.
2 Sobre os n´umeros complexos
Que os matem´aticos do s´eculo XVIII ainda n˜ao tinham uma compreens˜ao
satisfat´oria do conceito de n´umeros − em particular o de n´umeros complexos ´e
oque se depreende da cita¸c˜ao a seguir (ver [1]):
A ambivalˆencia dos matem´aticos do s´eculo XVIII em rela¸c˜ao aos n´umeros complexos pode mais
uma vez ser evidenciada em Euler. Apesar de seus trabalhos em que ensinava a operar com eles,
afirma
“Como todos os n´umeros conceb´ıveis s˜ao maiores ou menores do que zero ou iguais a zero, fica
ent˜ao claro que as ra´ızes quadradas de n´umerosnegativos n˜ao podem ser inclu´ıdas entre os n´umeros
poss´ıveis [n´umeros reais]. E esta circunstˆancia nos conduz ao conceito de tais n´umeros, os quais,
por sua pr´opria natureza, s˜ao imposs´ıveis, e que s˜ao geralmente chamados de n´umeros imagin´arios,
pois existem somente na imagina¸c˜ao.”
www.dmat.ufrr.br/ gentil ) gentil.silva@gmail.com
1
Gentil 2
Observe que, na mente de Euler,“todos os n´umeros conceb´ıveis s˜ao maiores
ou menores do que zero ou iguais a zero”; o que prova que Euler e, por extens
˜ao os demais matem´aticos, n˜ao havia ainda atinado com uma compreens˜ao
necess´aria do conceito de n´umero.
Nota: Como dissemos o conceito de n´umero veio evoluindo ao longo dos
s´eculos; portanto ´e perfeitamente compreens´ıvel que os matem´aticos, de ent˜ao,
n˜ao sesentissem `a vontade com este conceito, bem sabemos que isto em nada
diminui os m´eritos destes grandes matem´aticos, o que n˜ao nos impede, todavia,
de pˆor em evidˆencia esta curiosa particularidade.
Agora, o que ´e de surpreender ´e que uma parcela consider´avel dos matem´aticos
hodiernos ainda se sintam trˆopegos quanto ao conceito em quest˜ao, como estaremos
mostrando.
Na literaturaencontramos algumas abordagens (defini¸c˜oes) para os n´umeros
complexos; para o prop´osito que temos em mente elegeremos duas defini¸c˜oes −
as quais acreditamos serem representantes das demais.
D1. Na referˆencia [1] encontramos:
1. Introdu¸c˜ao
Iniciaremos lembrando que as opera¸c˜oes de soma e produto de n´umeros reais
possuem um certo n´umero de propriedades fundamentais, que s˜ao as seguintes:(1) A adi¸c˜ao e a multiplica¸c˜ao s˜ao comutativas, isto ´e, se a e b s˜ao n´umeros
reais, ent˜ao
a + b = b + a, ab = ba.
(2) A adi¸c˜ao e a multiplica¸c˜ao s˜ao associativas, isto ´e, se a, b e c s˜ao n´umeros
reais, ent˜ao
(a + b) + c = a + (b + c), (ab)c = a(bc).
(3) A multiplica¸c˜ao ´e distributiva relativamente `a adi¸c˜ao, isto ´e, se a, b e c s˜ao
n´umeros reais,
a(b + c) = ab +bc.
(4) Existem e s˜ao ´unicos os n´umeros 0 e 1 satisfazendo as condi¸c˜oes:
a + 0 = a, a1 = a,
para todo real a.
(5) A todo real a corresponde um ´unico n´umero real (−a), e se a 6= 0, um ´unico
n´umero real 1
a , tais que
a + (−a) = 0 e a

1
a

= 1.
Existem muitas maneiras de definir o conjunto dos n´umeros complexos. Adotaremos
a seguinte:
Os n´umeros complexos constituem umconjunto C, onde est˜ao definidas
opera¸c˜oes de adi¸c˜ao (indicado pelo sinal +) e de multiplica¸c˜ao (indicado pela
simples justaposi¸c˜ao de letras) com as propriedades (1), (2), (3), (4) e (5).
Al´em disso, os n´umeros reais est˜ao inclu´ıdos em C e:
a) Existe um n´umero complexo i com i2 = −1.
b) Todo n´umero complexo pode ser escrito de uma maneira ´unica na forma
Gentil 3
a+bi,...
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