Newton

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Analise do M´todo de Newton com e Busca Linear Hibridizado com o M´todo e de Gradiente para Otimiza¸˜o de ca Problemas Bidimensionais
Raimundo Augusto Rego Rodrigues J´nior u [e-mail]
Nova Friburgo-RJ, Brazil

11 de Setembro - 2012

1

Introdu¸˜o ca O trabalho mostrar´ o desempenho do M´todo de Newton com Busca Linear a e
Hibridizado com o M´todo de Gradiente. Este m´todo ´ classificado como detere e e min´ ıstico pelo fato de fazer uso das informa¸oes de derivada (Vetor Gradiente e c˜ Matriz Hessiana. Segundo Brand˜o (2010), os melhores resultados destes m´todos a e s˜o para fun¸oes cont´ a c˜ ınuas, convexas e semi-modais. Os m´todos determin´ e ısticos possuem uma grande vantagem que ´ o baixo n´mero de avalia¸oes da fun¸˜o objee u c˜ ca tivo, fazendo com que tenham convergˆncia r´pida e baixo custo computacional. O e a m´todo ser´ analisado de acordo com os resultados obtidos atrav´s de problemas de e a e teste conhecidos na literatura.

2

Busca Linear

Dados uma fun¸ao f : Rn → R e um ponto qualquer x ∈ Rn , dizemos que o vetor c˜ → ∈ Rn ´ uma dire¸ao de descida de f a partir de x, se existe α > 0 tal que
−
p e c˜
−
f (x + α→) < f (x), ∀α ∈ (0, α] p onde α ´ o tamanho do passo. e 1

Este m´todo possui um passo muito interessante denominado de Busca Linear e Exata, trata-se da minimiza¸ao de uma fun¸ao de uma variav´l c˜ c˜ e − min g (x) = f (xk + α→) pk com α > 0.

2.1

Dire¸˜o M´xima de Descida ca a

→
−
→
Dados f : Rn → R de classe C 1 e x ∈ Rn , determine P ∈ Rn tal que D− f (x)
P
representa a menor taxa de varia¸ao de f a partir de x. c˜ Solu¸ao: c˜ Note que

→
D− f (x)
P

≡

→
−
f (x)T P
=
→
−
P

1
→.
−
P

f (x)T

.

→
−
P

cos θ =

f (x)T

. cos θ,

→ logo o menor valor para D− f (x) ocorre quando cos θ = −1, ou seja, quando
P
θ = 180o .

Logo

→=
−
u

→
−
P
→
−
P

=

− f (x) f (x)

Em